Давайте пошагово разберем каждую задачу, используя понятия размещений из К элементов по m.
Общие понятия:
- K — общее число элементов, из которых выбираем.
- m — число выбираемых элементов.
- Размещение — это порядок выбранных элементов, без повторений, из K с учетом порядка. Количество размещений равно формуле:
[
A_{K}^{m} = \frac{K!}{(K - m)!}
]
Задача а)
Задача: Из 20 учащихся выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты.
Что ищем: число способов это сделать.
Анализ:
- Всего учеников — 20, значит ( K = 20 ).
- Нужно выбрать 3 должности — староста, заместитель и редактор. В порядке важности — разные должности, значит эти выборы — — размещения по 3.
- ( m = 3 ).
Решение:
[
A_{20}^{3} = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840.
]
Ответ: 6840 способов
Задача б)
Задача: В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причём разные. Сколько способов можно составить расписание?
Что ищем: число способов выбрать 4 разные урока из 7, учитывая порядок (расписание на день).
Анализ:
- Всего предметов — 7, ( K=7 ).
- Нужно расположить 4 урока за день, каждое из которых — разный предмет, порядок важен, значит тоже размещения: ( m=4 ).
Решение:
[
A_{7}^{4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840.
]
Ответ: 840 способов
Задача в)
Задача: В соревновании участвуют 10 человек. Сколько способов могут распределиться между ними места?
Что ищем: число способов размещения 10 человек по 10 мест (все места заняты, порядок важен, без повторений).
Анализ:
- Все 10 человек участвуют, все места заняты, ( K=10 ).
- Нам нужно все расположения, то есть перестановка всех участников, ( m=10 ).
Решение:
[
A_{10}^{10} = 10! = 3{,}628{,}800.
]
Ответ: 3 628 800 способов
г)
Задача: Сколько всевозможных трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5, 6?
Что ищем: число разных трёхзначных чисел, формируемых из заданных цифр, при этом цифры могут повторяться?
В условии не указано явно, можно ли повторять цифры. Обычно, если слова "записать" не уточняют, предполагается использование одинаковых цифр — то есть повторения возможны.
Анализ:
- Цифры: 4 варианта (3, 4, 5, 6).
- Трехзначное число: первая цифра — не ноль, все цифры допустимы.
- Можно допустить повторения, поскольку такого условие не запрещает.
Решение:
- Количество способов выбрать первую цифру: 4 (любая из 4).
- Таким образом, для каждой позиции — 4 варианта, и всего:
[
4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64.
]
Ответ: 64 числа
Если подробнее нужно объяснить важность размещений или привести другие формулы — скажите.
