1. Две прямые касаются окружности (радиусом 9 см) с центром О в точках № и К и пересекаются в точке М. Найдите угол между этими прямыми, если ОМ = 18 см. 2. Из центра окружности О к хорде КМ, равной 12 см, проведен перпендикуляр ОР Найдите длину перпендикуляра, если Z ОКР = 459 3. а) Постройте треугольник АВС по трем сторонам: а = З см, b=4см, с=5см b) Постройте серединный перпендикуляр к стороне АВ.

Давайте разберем каждую задачу по порядку, уделяя внимание детальным объяснениям и шагам. --- ### Задача 1 **Две касательные к окружности радиуса 9 см касаются окружности в точках № и К, а пересекаются в точке М. Найти угол между этими касательными, если ОМ = 18 см.** ***Шаги решения:*** 1. **Обозначения и условия:** - О — центр окружности. - Радиус R = 9 см. - Точки касания — № и К. - Линии, касающиеся окружности в точках № и К, — касательные. - Эти касательные пересекаются в точке М, которая принадлежит обеим линиям. - OM = 18 см. 2. **Что нужно найти?** — Угол между двумя касательными линиями, проведенными в точки касания. 3. **Основные свойства:** - Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной: \( ON \perp \) касательной в точке №, \( OK \perp \) касательной в точке К. - Поскольку касательные касаются окружности, они равны по длине, и касательные, проведенные из одной точки (М), равны. — Но сюда важнее то, что касательные из точки М к окружности — равны по длине. 4. **Построение:** - Точки касания № и К — точки на окружности. - Радиусы \( ON \) и \( OK \) перпендикулярны касательным. - Точки № и К — на окружности, радиусы \( ON \) и \( OK \). - В точке М пересекаются касательные, так как это точка пересечения. 5. **Фокусируемся на треугольнике ОМН:** - \( ON \perp \) касательной в №, - Аналогично для К. 6. **Обнаружим связи:** Пусть \( \angle NМK \) — искомый угол между касательными в точках № и К. Тогда через свойства касательных: - Обозначим \( OM = 18 \) см. - В треугольнике \( OMN \), где \( ON = 9 \), — расстояние от центра до точки М равно 18 см, а \( ON = 9 \) см. 7. **Рассмотрим треугольник \( OMN \):** — он равнобедренный с вершиной в М, так как \( ON = OK \). — угол между касательными — это внешний угол, образованный накрест лежащими углами. 8. **Используем свойства:** - Расстояние \( OM \) от центра до точки пересечения касательных — 18 см. - Радиус \( ON \) = 9 см. 9. **Рассмотрим центр окружности О и точки М:** — Точки \( N \) и \( К \) лежат на окружности. — В треугольнике \( ONA \), где \( A \) — точка пересечения касательной. 10. **Ключевое:** - Угол между касательными равен \( 180^\circ - \) угол между радиусами \( ON \) и \(OK \), соединенными в центр. 11. **Общий итог:** В этом случае, поскольку касательные из точки М к окружности равны и пересекаются вне окружности, угол между касательными \( \angle NМК \) вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{R}{OM} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \] где \( \theta \) — половина искомого угла. Поэтому, искомый угол между касательными: \[ \boxed{\angle NКМ = 2 \arccos \frac{1}{2} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ} \] --- ### **Ответ к задачам 1:** **Угол между касательными — 120°** --- ### Задача 2 **Из центра окружности О к хорде КМ, равной 12 см, проведен перпендикуляр ОР. Найдите длину перпендикуляра, если \( \angle OKR = 45^\circ \).** ***Объяснение:*** - Радиус \( R \) окружности — не задан, предположим, что \( R \). - Хорда \( KM = 12 \) см. - Из центра О к хорде опущен перпендикуляр ОР — это биссектриса и перпендикуляр к хорде. **Шаги:** 1. Обозначим: - \( R \) — радиус окружности. - О — центр. - \( R \) — перпендикуляр от О к хорде \( KM \), пересекает ее в точке R. 2. Свойства: - Перпендикуляр, опущенный из центра к хорде, делит её пополам: \( KR = RM = 6 \) см. 3. В треугольнике \( OKR \): — Знаем \( \angle OKR = 45^\circ \), \( OK = R \). — \( R \) — точка пересечения перпендикуляра. 4. Используем тригонометрию: \[ \cos 45^\circ = \frac{OR}{KR} \] — где \( OR \) — длина перпендикуляра, который и нужно найти. — \( KR = 6 \) см. 5. Тогда: \[ \cos 45^\circ = \frac{OR}{6} \] \[ OR = 6 \times \cos 45^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \] **Ответ:** \[ \boxed{OR = 3\sqrt{2} \text{ см}} \] --- ### Задача 3a **Постройте треугольник АВС по сторонам: \( a=3\, \text{см} \), \( b=4\, \text{см} \), \( c=5\, \text{см} \).** ***Инструкция:*** 1. Начинаем с построения отрезка \( AB \) равной 4 см. 2. На этом отрезке откладываем от точки \( A \) точку \( C \), чтобы \( AC = 3 \) см. 3. На той же линии или в другом месте, строим точку \( C \) так, чтобы расстояние \( BC \) было равно 5 см. Пошагово: - Отметьте точку \( A \). - Постройте отрезок \( AB = 4 \) см. - В точке \( A \) откладываем отрезок длиной 3 см в произвольном направлении — точка \( C \). - Построить окружность с центром в \( B \), радиусом 5 см. - Построить окружность с центром в \( C \), радиусом 4 см. - Пересечение окружностей даст точку \( C \). Проведите \( AC \) и \( BC \). --- ### Задача 3b **Постройте серединный перпендикуляр к стороне \( AB \).** - Найдите середину \( M \) отрезка \( AB \). - Проведите перпендикуляр к \( AB \) через точку \( M \). --- Если нужен более подробный пошаговый подход по строительству, скажите!