Лодка прошла по течению реки 75 км, затем повернула в обратную сторону и прошла 45 км против течения, затратив на весь путь 10 часов. найдите собственную скорость лодки если…

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

Дано:

• Расстояние по течению: 75 км
• Расстояние против течения: 45 км
• Общее время: 10 часов
• Скорость течения: 3 км/ч

Обозначения:

• \( v \) — собственная скорость лодки (то, что нужно найти)
• \( v_{реки} = 3 \) км/ч — скорость течения

Шаг 1: Запишем скорости

• По течению лодка движется со скоростью: \( v + 3 \)
• Против течения — со скоростью: \( v - 3 \)

Шаг 2: Вычисляем время на каждый участок

Время — это расстояние, делённое на скорость.

• Время, затраченное на путь по течению: \[ t_{по течению} = \frac{75}{v + 3} \]

• Время, затраченное на путь против течения: \[ t_{против течения} = \frac{45}{v - 3} \]

Общий затраченное время равно сумме этих двух времен и равно 10 часам: \[ \frac{75}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 10 \]

Шаг 3: Решим уравнение

Запишем его полностью: \[ \frac{75}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 10 \]

Найдем общий знаменатель: \[ (v + 3)(v - 3) = v^2 - 9 \]

Приведем левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{75(v - 3) + 45(v + 3)}{v^2 - 9} = 10 \]

Раскроем скобки в числителе: \[ 75v - 225 + 45v + 135 = (75v + 45v) + (-225 + 135) = 120v - 90 \]

Итак, уравнение принимает вид: \[ \frac{120v - 90}{v^2 - 9} = 10 \]

Шаг 4: Решим это уравнение относительно \( v \)

Перемножим обе стороны на знаменатель: \[ 120v - 90 = 10(v^2 - 9) \]

Раскроем скобки на правой стороне: \[ 120v - 90 = 10v^2 - 90 \]

Перенесем все в левую сторону: \[ 10v^2 - 120v + ( -90 + 90 ) = 0 \]

Обратите внимание, что \(-90 + 90 = 0\), поэтому упростим: \[ 10v^2 - 120v = 0 \]

Вынесем общий множитель: \[ 10v(v - 12) = 0 \]

Это произведение равно нулю, значит, одно из выражений равно нулю:

1. \( 10v = 0 \Rightarrow v = 0 \) (недопустимо, лодка не может двигаться со скоростью 0)
2. \( v - 12 = 0 \Rightarrow v = 12 \)

Итоговая собственная скорость лодки: \[ \boxed{v = 12 \text{ км/ч}} \]

Ответ:

Собственная скорость лодки — 12 км/ч.