Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Расстояние по течению: 75 км
- Расстояние против течения: 45 км
- Общее время: 10 часов
- Скорость течения: 3 км/ч
Обозначения:
- ( v ) — собственная скорость лодки (то, что нужно найти)
- ( v_{реки} = 3 ) км/ч — скорость течения
Шаг 1: Запишем скорости
- По течению лодка движется со скоростью: ( v + 3 )
- Против течения — со скоростью: ( v - 3 )
Шаг 2: Вычисляем время на каждый участок
Время — это расстояние, делённое на скорость.
Время, затраченное на путь по течению:
[
t_{по течению} = \frac{75}{v + 3}
]
Время, затраченное на путь против течения:
[
t_{против течения} = \frac{45}{v - 3}
]
Общий затраченное время равно сумме этих двух времен и равно 10 часам:
[
\frac{75}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 10
]
Шаг 3: Решим уравнение
Запишем его полностью:
[
\frac{75}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 10
]
Найдем общий знаменатель:
[
(v + 3)(v - 3) = v^2 - 9
]
Приведем левую часть к общему знаменателю:
[
\frac{75(v - 3) + 45(v + 3)}{v^2 - 9} = 10
]
Раскроем скобки в числителе:
[
75v - 225 + 45v + 135 = (75v + 45v) + (-225 + 135) = 120v - 90
]
Итак, уравнение принимает вид:
[
\frac{120v - 90}{v^2 - 9} = 10
]
Шаг 4: Решим это уравнение относительно ( v )
Перемножим обе стороны на знаменатель:
[
120v - 90 = 10(v^2 - 9)
]
Раскроем скобки на правой стороне:
[
120v - 90 = 10v^2 - 90
]
Перенесем все в левую сторону:
[
10v^2 - 120v + ( -90 + 90 ) = 0
]
Обратите внимание, что (-90 + 90 = 0), поэтому упростим:
[
10v^2 - 120v = 0
]
Вынесем общий множитель:
[
10v(v - 12) = 0
]
Это произведение равно нулю, значит, одно из выражений равно нулю:
- ( 10v = 0 \Rightarrow v = 0 ) (недопустимо, лодка не может двигаться со скоростью 0)
- ( v - 12 = 0 \Rightarrow v = 12 )
Итоговая собственная скорость лодки:
[
\boxed{v = 12 \text{ км/ч}}
]
Ответ:
Собственная скорость лодки — 12 км/ч.
