x - 5 / x² - 4x - 21
Давайте разберем данное выражение:
\[ x - \frac{5}{x^2 - 4x - 21} \]
Постараюсь подробно объяснить каждую часть.
Шаг 1: Анализ выражения
Выражение состоит из двух частей:
- Первая — это просто переменная \(x\)
- Вторая — дробь \(\frac{5}{x^2 - 4x - 21}\)
Важно понять, что такое знаменатель \(x^2 - 4x - 21\) и как его упростить.
Шаг 2: Раскладываем квадратный трёхчлен в знаменателе
Рассмотрим выражение:
\[ x^2 - 4x - 21 \]
Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители. Ищем два числа, сумма которых равна \(-4\), а произведение — \(-21\).
- Пары чисел, произведение которых равен \(-21\): \((-1, 21)\), \((1, -21)\), \((-3, 7)\), \((3, -7)\).
Проверим сумму:
- \((-3) + 7 = 4\), а нам нужно \(-4\).
- \((3) + (-7) = -4\), это подходит!
Значит, разложение:
\[ x^2 - 4x - 21 = (x + 3)(x - 7) \]
Шаг 3: Запишем исходное выражение с разложенным знаменателем
Таким образом,
\[ x - \frac{5}{(x + 3)(x - 7)} \]
Шаг 4: Можно оставить так или привести к общему знаменателю (если нужно упростить или найти значения)
Если нужно объединить в один дробный выражение, то приводим к общему знаменателю:
\[ x = \frac{x (x + 3)(x - 7)}{(x + 3)(x - 7)} \]
Тогда:
\[ x - \frac{5}{(x + 3)(x - 7)} = \frac{x (x + 3)(x - 7)}{(x + 3)(x - 7)} - \frac{5}{(x + 3)(x - 7)} = \frac{x (x + 3)(x - 7) - 5}{(x + 3)(x - 7)} \]
Шаг 5: Раскроем скобки в числителе
Раскроем \(x (x + 3)(x - 7)\):
- Сначала раскроем \((x + 3)(x - 7)\):
\[ (x + 3)(x - 7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21 \]
Но это — та же самая дробь, по сути, мы уже использовали это разложение.
Теперь умножим это на \(x\):
\[ x \times (x^2 - 4x - 21) = x^3 - 4x^2 - 21x \]
Следовательно, числитель:
\[ x^3 - 4x^2 - 21x - 5 \]
Итоговая формула
Объединяем все:
\[ \boxed{ x - \frac{5}{(x+3)(x-7)} = \frac{x^3 - 4x^2 - 21x - 5}{(x+3)(x-7)} } \]
Важное замечание:
Значения \(x = -3\) и \(x = 7\) нельзя подставлять в исходное выражение, так как в знаменателе оно станет равным нулю, а деление на ноль недопустимо.
Если нужно, я могу помочь с дальнейшими преобразованиями, решением уравнений или уточнить что-либо!
