Реши
Конечно! Сейчас я подробно решу каждую задачу.
Задача 1
Проверить, что:
\[
\sin 160^\circ + \sin 81^\circ - \sin 21^\circ - \sin 20^\circ = \cos 51^\circ
\]
Решение:
Используем тригонометрические тождества и свойства. Вначале преобразуем синусы сумм и разностей.
Для удобства постараемся упростить левую часть выражения.
Обозначения:
- \(A = \sin 160^\circ\)
- \(B = \sin 81^\circ\)
- \(C = \sin 21^\circ\)
- \(D = \sin 20^\circ\)
Используем свойство:
\(\sin (180^\circ - x) = \sin x\)
- \(\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ = D\)
Подставим:
\[
D + B - C - D = B - C
\]
Значит, левая часть равна:
\[
\sin 81^\circ - \sin 21^\circ
\]
Но известно, что:
\[
\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}
\]
Подставим:
\[
2 \cos \frac{81^\circ + 21^\circ}{2} \sin \frac{81^\circ - 21^\circ}{2} = 2 \cos 51^\circ \sin 30^\circ
\]
Поскольку \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), получаем:
\[
2 \cos 51^\circ \times \frac{1}{2} = \cos 51^\circ
\]
Ответ: Левая часть равна \(\cos 51^\circ\), что совпадает с правой.
Задача выполнена!
Задача 2
Преобразовать в произведение:
\[
2 \sin a - \sqrt{5}
\]
Если в условии стоит просто преобразовать, то, похоже, нужно определить выражение, предоставляя его в виде произведения или что-то подобное. Однако в условии явно этого не указано, потому что оно кажется неполным.
Если предположить, что нужно выразить в виде произведения, например, \(2 \sin a - \sqrt{5}\), то это — выражение, которое не так просто преобразовать без дополнительной информации.
Если есть более конкретное задание, уточните, пожалуйста.
Задача 3
Вероятность появления цветного шара:
Имеется:
- всего 30 шаров
- 10 — белых
- 15 — красных
- 5 — синих
Найти вероятность появления цветного шара.
Здесь все 30 шаров — цветные, ведь в условии ничего не говорится о бесцветных шарах.
Вероятность вытянуть цветной шар — 100%.
Ответ: \(\boxed{1}\) или 100%.
Задача 4
Из колоды из 32 карт вытягивают 3 карты
Найти вероятность, что средне-вынутых карт будет хотя бы один туз.
Обозначим:
- в колоде 4 туза
- всего 32 карты
- вытягиваются 3 карты без возврата
Задача — найти вероятность, что хотя бы один туз.
Обратимся через противоположную ситуацию: вероятность, что ни одного туза.
Вероятность, что первая карта — не туз:
\[
\frac{32 - 4}{32} = \frac{28}{32}
\]
Второй:
\[
\frac{27}{31}
\]
Третий:
\[
\frac{26}{30}
\]
Общая вероятность, что не вытянут ни одного туза:
\[
P(\text{нет тузов}) = \frac{28}{32} \times \frac{27}{31} \times \frac{26}{30}
\]
Выразим:
\[
P(\text{хотя бы один туз}) = 1 - P(\text{нет тузов})
\]
Посчитаем:
\[
P(\text{нет тузов}) = \frac{28 \times 27 \times 26}{32 \times 31 \times 30}
\]
Задача 5
Квадрат со стороной 4 см «бросают» точку.
- Какова вероятность, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Обозначим:
- Площадь квадрата: \( S = 4 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \)
- Пусть точка находится внутри квадрата. Расстояние до ближайшей стороны?
- Для этого рассмотрим внутренний квадрат со стороной \(4 - 2 \times 1 = 2 \text{ см}\), так как точка должна находиться ближе чем 1 см к любой стороне.
Область, где расстояние до ближайшей стороны меньше 1 см:
Это — все точки, расположенные в полосах по краям квадрата шириной 1 см.
Внутренняя часть — квадрат со стороной \(4 - 2 = 2 \text{ см}\).
Область, где расстояние меньше 1 см (окна по краям):
Площадь этих полос:
\[ S_{площадь} = 16 - 2 \times 2^2 = 16 - 8 = 8 \]
Однако, более правильный расчет:
- внутренний квадрат со стороной 2 см (отступы с двух сторон):
\[ S_{внутри} = 2 \times 2 = 4 \]
Эта часть — область, где расстояние до любой стороны больше или равно 1 см.
Значит, область, где расстояние меньше 1 см — это короба по краям:
\[
S_{края} = S_{всего} - S_{внутри} = 16 - 4 = 12
\]
Вероятность — отношение площади, где расстояние меньше 1 см, к общей площади:
\[
P = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]
Ответ: вероятность равна \(\boxed{\frac{3}{4}}\).
Если нужно что-то уточнить или подробнее разобрать какой-то конкретный пункт — скажите!
