Решение

Давайте решим задачу по шагам.

Даны:

• Катеты прямоугольного треугольника: 8 см и 15 см.

Нам нужно найти:

• Радиус описанной окружности (обозначим его R).
• Радиус вписанной окружности (обозначим его r).

Шаг 1: найти гипотенузу треугольника (c)

Поскольку у нас есть катеты a = 8 см и b = 15 см, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим значения:

\[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \]

Шаг 2: найти окружности

(a) Радиус описанной окружности (R)

Радиус описанной окружности для прямого угла равен половине гипотенузы:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \text{ см} \]

(b) Радиус вписанной окружности (r)

Формула радиуса вписанной окружности для любого треугольника:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( p \) — полупериметр.

Найдем площадь \( S \):

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \text{ см}^2 \]

Обозначим полупериметр:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см} \]

Теперь радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{20} = 3 \text{ см} \]

Ответ:

• Радиус описанной окружности \( R = 8.5 \) см,
• Радиус вписанной окружности \( r = 3 \) см.

Если нужна помощь с какими-либо этапами, скажи!