Бросают игральный кубик и подбрасывают монету. Событие A: «выпало четное число и орёл», событие B: «выпало число > 4 или решка». Найдите P(A∪B).
Давайте подробно решим задачу. Нам нужно найти вероятность объединения двух событий: \( P(A \cup B) \).
Шаг 1. Определим пространство возможных исходов
- Игральный кубик: возможные исходы — числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Монета: две возможные стороны — Орёл (О) и Решка (Р).
Общее пространство всех исходов — это пары: (число на кубике, результат монеты). Всего их \(6 \times 2 = 12\).
Всего исходов:
| Кубик | Монета | Количество |
|---|---|---|
| 1 | Орёл | 1,О |
| 1 | Решка | 1,Р |
| 2 | Орёл | 2,О |
| 2 | Решка | 2,Р |
| 3 | Орёл | 3,О |
| 3 | Решка | 3,Р |
| 4 | Орёл | 4,О |
| 4 | Решка | 4,Р |
| 5 | Орёл | 5,О |
| 5 | Решка | 5,Р |
| 6 | Орёл | 6,О |
| 6 | Решка | 6,Р |
Шаг 2. Определим события \(A\) и \(B\)
Событие \(A\): «выпало четное число и орёл»
- Четные числа на кубике: 2, 4, 6
- Нужно, чтобы выпало четное число и орёл.
Итак, исходы для \(A\):
| Число кубика | Монета | Описание |
|---|---|---|
| 2 | О | 2,О |
| 4 | О | 4,О |
| 6 | О | 6,О |
\(\Rightarrow\) \(A = \{ (2,О), (4,О), (6,О) \}\)
Событие \(B\): «выпало число > 4 или решка»
- Число > 4: 5, 6
- Решка: любые числа (1-6), при этом исходы: (число,Р)
Исходы для \(B\):
| Число >4 | Монета | Описание |
|---|---|---|
| 5 | О | (5,О) |
| 5 | Р | (5,Р) |
| 6 | О | (6,О) |
| 6 | Р | (6,Р) |
| 1 | Р | (1,Р) |
| 2 | Р | (2,Р) |
| 3 | Р | (3,Р) |
| 4 | Р | (4,Р) |
| 1 | О | (1,О) |
| 2 | О | (2,О) |
| 3 | О | (3,О) |
| 4 | О | (4,О) |
Но необходимо учитывать только исходы, у которых выполняется условие «число >4» или «решка». Значит, в множество входят все исходы с числом >4 (5,6), а также все исходы с решкой независимо от числа.
Итак,
\[ B = \{(5,О), (5,Р), (6,О), (6,Р), \text{все исходы с Р}\} \]
Общий список:
| Исход | Описание |
|---|---|
| (5,О) | 5,О |
| (5,Р) | 5,Р |
| (6,О) | 6,О |
| (6,Р) | 6,Р |
| (1,Р) | 1,Р |
| (2,Р) | 2,Р |
| (3,Р) | 3,Р |
| (4,Р) | 4,Р |
Шаг 3. Найдём объединение \(\mathbf{A \cup B}\)
Это множество всех исходов, входящих либо в \(A\), либо в \(B\):
\(A = \{ (2,О), (4,О), (6,О) \}\)
\(B\) — все исходы с числом >4 или Решкой:
\[ B = \{ (5,О), (5,Р), (6,О), (6,Р), (1,Р), (2,Р), (3,Р), (4,Р) \} \]
Объединение:
\[ A \cup B = \{ (2,О), (4,О), (6,О) \} \cup \{ (5,О), (5,Р), (6,О), (6,Р), (1,Р), (2,Р), (3,Р), (4,Р) \} \]
Объединённый ряд уникальных исходов:
| Исход | Комментарий |
|---|---|
| (1,Р) | из \(B\) и не в \(A\) |
| (2,О) | из \(A\) |
| (2,Р) | из \(B\) |
| (3,Р) | из \(B\) |
| (4,О) | из \(A\) |
| (4,Р) | из \(B\) |
| (5,О) | из \(B\) |
| (5,Р) | из \(B\) |
| (6,О) | из \(A\) и \(B\) |
| (6,Р) | из \(B\) |
Итого, в объединении — 10 исходов.
Шаг 4. Определяем вероятность \(P(A \cup B)\)
Каждый исход равновероятен, значит вероятность каждого = \(\frac{1}{12}\).
Следовательно,
\[ P(A \cup B) = \frac{\text{число исходов в } A \cup B}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
Итог:
\[ \boxed{ P(A \cup B) = \frac{5}{6} } \]
Если нужно подробнее что-то объяснить — скажите!
