Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Длина пробега: 714 км
- Скорость первого автомобиля: ( v_1 ) (она на 16 км/ч больше, чем у второго)
- Скорость второго автомобиля: ( v_2 )
- Первый прибывает на 2 часа раньше второго
Нам нужно найти ( v_1 ).
Шаг 1: Запишем известные зависимости
Пусть скорость второго автомобиля равна ( v_2 ).
Тогда скорость первого автомобиля:
[
v_1 = v_2 + 16
]
Шаг 2: Выразим время пути каждого автомобиля.
Время в пути — это длина пути, делённая на скорость:
[
t_1 = \frac{714}{v_1}
]
[
t_2 = \frac{714}{v_2}
]
По условию, первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше, то есть:
[
t_2 - t_1 = 2
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{714}{v_2} - \frac{714}{v_2 + 16} = 2
]
Шаг 3: Решим полученное уравнение
Для удобства умножим обе части уравнения на ( v_2 (v_2 + 16) ), чтобы избавиться от знаменателей:
[
714 (v_2 + 16) - 714 v_2 = 2 v_2 (v_2 + 16)
]
Раскроем скобки:
[
714 v_2 + 714 \times 16 - 714 v_2 = 2 v_2^2 + 32 v_2
]
Обратите внимание, что (714 v_2 - 714 v_2 = 0), следовательно, уравнение упрощается до:
[
714 \times 16 = 2 v_2^2 + 32 v_2
]
Вычислим (714 \times 16):
[
714 \times 16 = (700 + 14) \times 16 = 700 \times 16 + 14 \times 16 = 11200 + 224 = 11424
]
Итак, получаем уравнение:
[
11424 = 2 v_2^2 + 32 v_2
]
Разделим обе части на 2:
[
5712 = v_2^2 + 16 v_2
]
Перенесём все в одну сторону:
[
v_2^2 + 16 v_2 - 5712 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратичного уравнения
Используем формулу для решения:
[
v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=16 ), ( c=-5712 ).
Найдем дискриминант ( D ):
[
D = 16^2 - 4 \times 1 \times (-5712) = 256 + 22848 = 23004
]
Найдем корень из дискриминанта:
[
\sqrt{23004} \approx 151.66
]
Теперь вычислим ( v_2 ):
[
v_2 = \frac{-16 \pm 151.66}{2}
]
Рассмотрим два варианта:
- Положительный:
[
v_2 = \frac{-16 + 151.66}{2} = \frac{135.66}{2} = 67.83
]
- Отрицательный:
[
v_2 = \frac{-16 - 151.66}{2} = \frac{-167.66}{2} = -83.83
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
v_2 \approx 67.83, \text{км/ч}
]
Шаг 5: Найдём скорость первого автомобиля:
[
v_1 = v_2 + 16 \approx 67.83 + 16 = 83.83, \text{км/ч}
]
Ответ: примерно 84 км/ч
Итог:
Скорость первого автомобиля — около 84 км/ч.
