Треугольнике NKM угол K равен 90°, а угол N в два раза больше угла M (см. рисунок). Найдите сторону NK, если известно, что сторона MN на 24 см больше стороны NK.

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - В треугольнике NKM угол K равен 90°. - Угол N в два раза больше угла M. - Сторона MN на 24 см больше стороны NK. **Задача:** найти сторону NK. --- ### Шаг 1. Обозначим переменные Обозначим: - \( \angle M = x \) (в градусах) - \( \angle N = 2x \) (в градусах) - \( \angle K = 90^\circ \) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, имеем: \[ x + 2x + 90^\circ = 180^\circ \] \[ 3x + 90^\circ = 180^\circ \] \[ 3x = 90^\circ \] \[ x = 30^\circ \] Следовательно: - \( \angle M = 30^\circ \) - \( \angle N = 60^\circ \) - \( \angle K = 90^\circ \) --- ### Шаг 2. Обозначим стороны Обозначим: - протяженность стороны NK — \( a \) - сторона MN — \( b \) - сторона KM — \( c \) По условию, сторона MN на 24 см больше стороны NK: \[ b = a + 24 \] Также, обратим внимание, что угол K — 90°, и сторона, противоположная углу K, — это сторона NM. Но, поскольку в треугольнике, расположенном так, что угол K равен 90°, противоположная сторона уголу K — это сторона MN (обозначим её как \( b \)). Пусть: - \( a = NK \) - \( b = MN \) - \( c = KM \) --- ### Шаг 3. Используем тригонометрию В треугольнике с прямым углом можем использовать отношения: - В треугольнике прямоугольном в углу \( \angle K = 90^\circ \), катеты — это стороны, прилежащие к углу \( \angle K \): - Катет \( NK = a \) - Катет \( KM = c \) - Гипотенуза \( NM = b \) В треугольниках, где один из углов 30°, другой 60°, можно применить соотношения из 30-60-90: **Особенности треугольника 30°-60°-90°:** - против 30° — катет равен \( \frac{1}{2} \) гипотенузы - против 60° — катет равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы Поскольку: - Угол M = 30°, - Угол N = 60° Рассмотрим треугольник NKM. Он прямой, и в нем углы при NK и KM равны 30° и 60°. --- ### Шаг 4. Определим стороны через гипотенузу Пусть гипотенуза, которая равна стороне NK, — это \( a \). Но, поскольку NK — гипотенуза (против 90°), и мы знаем угол N=60°, а угол M=30°. Самое удобное — рассматривать треугольник NKM как треугольник с гипотенузой \( NM \) (сторона b). Из соотношений 30-60-90: - Катет, против 30° (какая сторона?) — \( a \) - Катет, против 60° — \( c \) - Гипотенуза — \( b \) Но Nathan's note: в треугольнике NKM, угол N=60°, угол M=30°, угол K=90°. **Значит:** - Сторона, противоположная углу \( \angle N=60^\circ \), это сторона \( c \) (KM). - Сторона, противоположная \( \angle M=30^\circ \), — это сторона \( a \) (NK). - Гипотенуза \( b \) — это сторона NM. По соотношениям треугольника 30-60-90: \[ \begin{cases} c = \text{гипотенуза} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ a = \text{гипотенуза} \times \frac{1}{2} \end{cases} \] Или, чтобы выразить: Если \( b \) — гипотенуза, тогда: \[ a = \frac{b}{2} \] \[ c = \frac{\sqrt{3}}{2} b \] Но поскольку \( a = NK \), в задаче это сторона, которую мы ищем. Также, из этих выражений: \[ b = 2a \] \[ c = a \sqrt{3} \] --- ### Шаг 5. Используем условие о сторонах В условии говорится, что сторона MN (она равна \( b \)) на 24 см больше стороны NK (она равна \( a \)). То есть: \[ b = a + 24 \] Но из тригонометрии мы имеем: \[ b = 2a \] Следовательно: \[ 2a = a + 24 \] \[ 2a - a = 24 \] \[ a = 24 \] --- ### **Ответ:** **сторона NK = \( a = \boxed{24\, \text{см}} \).** --- Если потребуется, можем найти остальные стороны: \[ b = 2a = 48\, \text{см} \] \[ c = a \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \approx 41.57\, \text{см} \] Но основной вопрос — это длина стороны NK, которая равна **24 см**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробно разобраться в каком-либо шаге — скажите!