Найдите наименьшее число, которое больше 1 и делится на 24, 16 и 15 с остатком 1.
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Задача:
Найти наименьшее число, большее 1, которое при делении на 24, 16 и 15 даёт остаток 1.
Объяснение:
Число \( N \) делится на 24, 16 и 15 с остатком 1. Это означает, что каждое из этих чисел — делитель \( N - 1 \).
То есть:
\[
N \equiv 1 \pmod{24} \\
N \equiv 1 \pmod{16} \\
N \equiv 1 \pmod{15}
\]
или по-другому:
\[
N - 1 \equiv 0 \pmod{24} \\
N - 1 \equiv 0 \pmod{16} \\
N - 1 \equiv 0 \pmod{15}
\]
То есть \( N - 1 \) — число, кратное всем трём числам: 24, 16 и 15.
Нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) чисел 24, 16 и 15, чтобы определить минимальное \( N - 1 \).
Шаг 1: найти НОК чисел 24, 16 и 15.
Рассчитаем разложение на простые множители:
- \(24 = 2^3 \times 3\)
- \(16 = 2^4\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Чтобы найти НОК, берём максимум степеней each prime:
- для 2: максимум — \(2^4\) (из 16)
- для 3: максимум — \(3^1\) (из 24 или 15)
- для 5: максимум — \(5^1\) (из 15)
Следовательно,
\[
\text{НОК} = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 = 16 \times 3 \times 5
\]
Вычислим:
\[
16 \times 3 = 48 \\
48 \times 5 = 240
\]
Итак,
\[
N - 1 = 240
\]
Значит, минимальное\( N - 1 \) равно 240.
Шаг 2: найдем искомое число \( N \):
\[ N = 240 + 1 = 241 \]
Проверка:
- \(241 \div 24 = 10\) с остатком 1. (Так как \(24 \times 10 = 240\), остаток — 1)
- \(241 \div 16 = 15\) с остатком 1. (\(16 \times 15= 240\))
- \(241 \div 15 = 16\) с остатком 1. (\(15 \times 16= 240\))
Все выполняется.
Ответ:
Наименьшее число — 241.
