Решите уравнение введите количество решений уравнения введите наибольшее решение в уравнении
Рассмотрим данное уравнение:
\[ x(x + 2) + \frac{5}{x - 1} = \frac{5}{x - 1} + 3 \]
Шаг 1: Упростим уравнение
Обратите внимание, что слева и справа есть одинаковый слагаемый \(\frac{5}{x - 1}\), его можно сократить или перенести.
Переносим \(\frac{5}{x - 1}\) из обеих частей:
\[ x(x + 2) + \frac{5}{x - 1} = \frac{5}{x - 1} + 3 \]
Вычитаем \(\frac{5}{x - 1}\) слева и справа:
\[ x(x + 2) = 3 \]
Теперь уравнение свелось к простому квадратическому уравнению:
\[ x(x + 2) = 3 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x = 3 \]
Шаг 2: Решаем квадратичное уравнение
Запишем стандартный вид:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
- Для \(+\sqrt{16}\):
\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
- Для \(-\sqrt{16}\):
\[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Шаг 3: Проверка решений на допустимость
Обратите внимание, что исходное уравнение содержит деление на \(x - 1\), то есть \(x \neq 1\), чтобы не было деления на ноль.
Таким образом:
- \(x = 1\) недопустимо
- \(x = -3\) допустимо
Ответ:
- Количество решений: 1 (только \(x = -3\))
- Наибольшее решение: \(\boxed{-3}\)
