2) Шарик массой 0,25 кг прикреплён к горизонтальной пружине. Коэффициент упругости пружины = 2500 Н/м. Определите начальное смещение шарика от положения равновесия, если при…
2) Шарик массой 0,25 кг прикреплён к горизонтальной пружине. Коэффициент упругости пружины = 2500 Н/м. Определите начальное смещение шарика от положения равновесия, если при колебаниях он проходит это положение со скоростью 4 м/с.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Масса шарика, \( m = 0{,}25\, \text{кг} \)
- Коэффициент упругости пружины, \( k = 2500\, \text{Н/м} \)
- Скорость в положении равновесия, \( v = 4\, \text{м/с} \)
Требуется определить начальное смещение шарика от положения равновесия, то есть значение \( x_0 \).
1. Что произошло в задаче?
Когда шарик колеблется на пружине, в любой момент доступны две энергии:
- потенциальная энергия пружины: \( U = \frac{1}{2}k x^2 \)
- кинетическая энергия: \( KE = \frac{1}{2}mv^2 \)
В данной задаче нам даны параметры в момент прохождения через положение равновесия: в этом месте скорость и энергия.
2. Рассмотрим энергию в положении равновесия.
Когда шарик проходит через центр колебания, его смещение \( x = 0 \), а скорость равна \( v = 4\, \text{м/с} \).
Кинетическая энергия в этом моменте:
\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]
Подставим значения:
\[ KE = \frac{1}{2} \times 0,25 \times 4^2 = 0,125 \times 16 = 2\, \text{Дж} \]
Энергия в этом месте — это только кинетическая энергия, так как потенциальная энергия пружины равна нулю при \( x=0 \).
3. Что происходит при начальном смещении?
Когда шарик был начально смещён на расстояние \( x_0 \) и он движется со скоростью 4 м/с, его энергия в этот момент следующая:
\[ E_{total} = \text{потенциальная энергия} + \text{кинетическая энергия} \]
Но поскольку энергия сохраняется (без сопротивления и теряется), она равна:
\[ E_{total} = \frac{1}{2}k x_0^2 + \frac{1}{2} m v_0^2 \]
где \( v_0 \) — скорость в начальный момент, либо в момент прохождения равновесия (в данном случае это 4 м/с), так как условие говорит, что шарик при проходе через положение равновесия имеет именно такую скорость.
4. Энергия в момент прохождения через равновесие:
Так как при прохождении через \( x=0 \) скорость равна \( v=4\, \text{м/с} \), а потенциальная энергия равна нулю, то:
\[ E_{total} = KE = 2\, \text{Дж} \]
Это и есть полная механическая энергия системы.
5. Связь энергии и начального смещения:
Поскольку энергия сохраняется, и в любой момент:
\[ \frac{1}{2}k x^2 + \frac{1}{2}m v^2 = 2\, \text{Дж} \]
В начальный момент (при максимальном смещении \( x_0 \) — где шарик замедляется до нуля скорости):
\[ v=0, \quad x = x_0 \]
Тогда весь запас энергии — это потенциальная энергия:
\[ \boxed{ \frac{1}{2}k x_0^2 = 2 } \]
6. Решение для \( x_0 \):
\[ x_0^2 = \frac{2 \times 2}{k} = \frac{4}{2500} \]
\[ x_0 = \sqrt{\frac{4}{2500}} = \frac{2}{\sqrt{2500}} = \frac{2}{50} = 0{,}04\, \text{м} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Начальное смещение } x_0 = 0,04\, \text{м} \quad \text{или} \quad 4\, \text{см} } \]
Если потребуется более подробное пояснение по любому этапу, я с радостью помогу!
