Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, то есть треугольник прямоугольный.
- Угол A равен 60°.
- Длина стороны AB равна 7 см.
Найти: длину стороны AC.
Шаг 1: Понимание геометрии
Так как угол C равен 90°, то треугольник ABC — прямоугольный с гипотенузой AB и катетами AC и BC.
Обозначения:
- ( \angle A = 60^\circ )
- ( \angle C = 90^\circ )
- ( \angle B = ? )
Значит:
[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ
]
Шаг 2: Определение сторон
В прямоугольном треугольнике стороны, противолежащие углам, связаны с гипотенузой через синус и косинус.
- (\angle A = 60^\circ) противолежит сторонам BC и AC.
- Гипотенуза — AB = 7 см.
В таких треугольниках со специально известными углами (30°, 60°, 90°) стороны имеют пропорции:
[
\text{Гипотенуза (против 90°)} = 2x
]
[
\text{Против 30°} = x
]
[
\text{Против 60°} = x \sqrt{3}
]
где (x) — длина меньшей стороны, которая против 30°.
Шаг 3: Определение сторон
Поскольку гипотенуза (AB = 7) см, и по пропорциям:
[
AB = 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см}
]
- Сторона, противолежащая углу 30°, равна (x = 3.5) см.
- Сторона, противолежащая углу 60°, равна (x \sqrt{3} = 3.5 \times \sqrt{3}).
Шаг 4: Находим сторону AC
Сторона AC — это сторона, противолежащая углу A = 60°, значит:
[
AC = x \sqrt{3} = 3.5 \times \sqrt{3}
]
Приблизительно:
[
\sqrt{3} \approx 1.732
]
[
AC \approx 3.5 \times 1.732 \approx 6.062 \text{ см}
]
Ответ:
[
\boxed{
AC \approx 6.06, \text{см}
}
]
