Задайте первообразную F для f формулой если известны точка М (1;3) и формула f(x)=x+2
Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти первообразную F функции \(f(x) = x + 2\), если известна точка \(M(1; 3)\).
Шаг 1: Найдём неподставную первообразную \(F(x)\)
Функция \(f(x) = x + 2\) — это линейная функция. Чтобы найти её первообразную \(F(x)\), мы интегрируем \(f(x)\):
\[ F(x) = \int (x + 2) \, dx \]
Разделим интеграл на две части:
\[ F(x) = \int x \, dx + \int 2 \, dx \]
Интегрируем каждую часть:
- \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
- \(\int 2 \, dx = 2x\)
Объединяем результаты:
\[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C \]
где \(C\) — постоянная интегрирования.
Шаг 2: Определим постоянную \(C\), исходя из условия точки \(M(1; 3)\)
Условие: \(F(1) = 3\)
Подставляем \(x=1\):
\[ F(1) = \frac{1^2}{2} + 2 \times 1 + C = \frac{1}{2} + 2 + C \]
Это должно быть равно 3:
\[ \frac{1}{2} + 2 + C = 3 \]
Вычитаем \(\frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}\)
Значит:
\[ \frac{5}{2} + C = 3 \]
Решаем относительно \(C\):
\[ C = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \]
Итог:
\[ \boxed{ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + \frac{1}{2} } \]
Если нужно, я могу привести решение в более аккуратной или другой форме.
