Автомобиль удаляется от вертикальной стены перпендикулярно к её поверхности с постоянной скоростью. В момент, когда он находился на расстоянии 75 м от стены, с него был испущен короткий звуковой сигнал. Сигнал достиг стены, отразился и догнал автомобиль через 0, 5 с. С какой скоростью двигался автомобиль? Скорость звука в воздухе 330 м/с. Ответ приведите в [м/с).

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Расстояние от автомобиля до стены в начальный момент: \( d_0 = 75 \) м - Время, спустя которое отражённый сигнал догнал автомобиль: \( t = 0{,}5 \) с - Скорость звука в воздухе: \( v_{звука} = 330 \) м/с - Автомобиль движется прямо и с постоянной скоростью, удаляясь от стены --- ### Шаг 1. Что происходит? - В момент отправки сигнала (время \( t=0 \)) автомобиль находился на расстоянии 75 м от стены. - Звук отражается от стены и возвращается к автомобилю через 0,5 с. - За это время сигнал успевает пройти два участка: 1. От автомобиля до стены — расстояние меняется, так как автомобиль движется. 2. От стены обратно к автомобилю — он же движется навстречу сигналу. --- ### Шаг 2. Обозначения - Скорость автомобиля: \( v \) (нужно найти) - Расстояние автомобиля до стены в любой момент времени: \( d(t) \) - В начальный момент \( t=0 \) — \( d(0) = 75 \) м - За промежуток времени \( t \), автомобиль удаляется с постоянной скоростью \( v \), значит: \[ d(t) = 75 + v t \] (поскольку он удаляется от стены, расстояние увеличивается). --- ### Шаг 3. Время прохождения сигнала sЗвук проходит до стены и возвращается обратно. Пусть... - Время, затраченное на сигнал, чтобы пройти от автомобиля до стены: \(\Delta t_1 \) - Время, затраченное на сигнал, чтобы вернуться: \(\Delta t_2 \) Общая задержка — 0,5 с: \[ \Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 0,5 \text{ с} \] --- ### Шаг 4. Записание условий **Путь звука до стены:** \[ d(t_1) = 75 + v t_1 \] Звук идет со скоростью 330 м/с, значит: \[ d(t_1) = v_{звука} \times t_1 \] то есть \[ 75 + v t_1 = 330 t_1 \quad (1) \] **Путь зонда обратно к автомобилю:** - После отражения от стены, на то же расстояние \( 75 + v t_1 \), сигнал возвращается за время \( t_2 \). - В момент возвращения, сигнал и автомобиль находятся вместе: \[ d(t_1 + t_2) = v_{звука} \times t_2 \] но при этом \[ d(t_1 + t_2) = 75 + v(t_1 + t_2) \] Также, поскольку возврат сигнала занимает \( t_2 \), и он движется навстречу автомобилю: \[ 75 + v(t_1 + t_2) = 330 t_2 \] --- ### Шаг 5. Связь через полное время Общий интервал (от первой отправки до догнания сигнала): \[ t_1 + t_2 = 0,5 \text{ с} \] Из уравнения (1): \[ 75 + v t_1 = 330 t_1 \] Перенесем: \[ 75 = (330 - v) t_1 \] Следовательно: \[ t_1 = \frac{75}{330 - v} \] Теперь, зная что: \[ t_2 = 0,5 - t_1 \] и из второго уравнения: \[ 75 + v (t_1 + t_2) = 330 t_2 \] вставим \( t_2 = 0,5 - t_1 \): \[ 75 + v \times 0,5 = 330(0,5 - t_1) \] Раскроем скобки: \[ 75 + 0,5 v = 165 - 330 t_1 \] Подставим \( t_1 = \frac{75}{330 - v} \): \[ 75 + 0,5 v = 165 - 330 \times \frac{75}{330 - v} \] --- ### Шаг 6. Решение уравнения для \( v \) Запишем: \[ 75 + 0,5 v = 165 - \frac{330 \times 75}{330 - v} \] Вычтем 75 из обеих частей: \[ 0,5 v = 90 - \frac{24750}{330 - v} \] Перенесем все в левую сторону: \[ 0,5 v - 90 = - \frac{24750}{330 - v} \] Упростим: \[ -(0,5 v - 90) = \frac{24750}{330 - v} \] или \[ 90 - 0,5 v = \frac{24750}{330 - v} \] Теперь умножим обе части на \( 330 - v \): \[ (90 - 0,5 v)(330 - v) = 24750 \] Раскроем скобки: \[ 90 \times (330 - v) - 0,5 v \times (330 - v) = 24750 \] Вычислим: \[ 29700 - 90 v - 0,5 v \times 330 + 0,5 v^2 = 24750 \] \[ 29700 - 90 v - 165 v + 0,5 v^2 = 24750 \] Объединим подобные: \[ 29700 - 255 v + 0,5 v^2 = 24750 \] Перенесем 24750 в левую сторону: \[ 29700 - 24750 - 255 v + 0,5 v^2 = 0 \] Вычитая: \[ 4950 - 255 v + 0,5 v^2 = 0 \] Обозначим \( v \) — искомую скорость. Упростим уравнение, умножая на 2 для избавиться от дроби: \[ 2 \times 4950 - 2 \times 255 v + v^2 = 0 \] \[ 9900 - 510 v + v^2 = 0 \] Переставим в стандартную форму квадратичного уравнения: \[ v^2 - 510 v + 9900 = 0 \] --- ### Шаг 7. Решение квадратичного уравнения Используем формулу: \[ v = \frac{510 \pm \sqrt{510^2 - 4 \times 1 \times 9900}}{2} \] Вычисляем дискриминант: \[ \Delta = 510^2 - 4 \times 9900 \] \[ 510^2 = 260100 \] \[ 4 \times 9900 = 39600 \] \[ \Delta = 260100 - 39600 = 220500 \] Находим корень: \[ \sqrt{220500} \approx 469.20 \] Теперь решение: \[ v = \frac{510 \pm 469.2}{2} \] Два варианта: 1. \( v = \frac{510 + 469.2}{2} = \frac{979.2}{2} = 489.6 \) м/с 2. \( v = \frac{510 - 469.2}{2} = \frac{40.8}{2} = 20.4 \) м/с --- ### **Ответ:** Поскольку автомобиль удалялся от стены, его скорость должна быть реальной и разумной. Вариант \( v \approx 489.6 \text{ м/с} \) — нереален для автомобиля, так как это очень высокая скорость. Наиболее вероятный и разумный ответ — **20,4 м/с**. --- ## Итог: **Скорость автомобиля примерно равна — \(\boxed{20,4 \text{ м/с}}\).**