Даны высказывания А и В. В каждом случае выясните, каким условием является В для А : необходимым, недостаточным (H); достаточным, но не необходимым (D); необходимым и достаточным…

Давайте внимательно разберём задачу.

Дано:

• Высказывание А: "Точка \( x \) равноудалена от концов отрезка \( b \)"
• Высказывание В: "Точка \( x \) лежит на серединном перпендикуляре"

Цель: Выяснить, каким условием является В для А: необходимым, недостаточным (H), достаточным, но не необходимым (D), или необходимым и достаточным (HD).

Анализ условий

1. Высказывание А:
   „Точка \( x \) равноудалена от концов отрезка \( b \).”

   Это означает, что точка \( x \) находится посередине отрезка \( b \). То есть, \( x \) — середина отрезка \( b \).

2. Высказывание В:
   „Точка \( x \) лежит на серединном перпендикуляре.“

   — Серединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведённый к отрезку \( b \) в точке его середины.

Почему В влечёт А?

Если точка \( x \) лежит на серединном перпендикуляре к \( b \), то она может находиться или в точке пересечения серединного перпендикуляра и отрезка \( b \), или за его пределами, но основные свойства:

• Если \( x \) — на серединном перпендикуляре, проходящем через середину \( b \), то \( x \) — возможная точка, которая равноудалена от концов \( b \), если она совпадает с точкой пересечения перпендикуляра и отрезка (то есть, с серединой). В этом случае, \( x \) будет равноудалена от концов.

• Однако, ответ зависит:
  — Может ли точка \( x \), лежащая на перпендикуляре, быть не в середине \( b \)? Да, да.
  — Значит, условие В (лежит на серединном перпендикуляре) само по себе не гарантирует, что \( x \) равноудалена от концов, если она не в середине.

Итоговая проверка:

• Чтобы \( x \) было равноудалено от концов \( b \), оно должно находиться в центре \( b \).
• Если \( x \) лежит на серединном перпендикуляре (который проходит через центр \( b \)), то
  — только в случае, если \( x \) — именно центр \( b \), это выполняется.

Вывод:

• В — лежит на серединном перпендикуляре,
• А — точка равноудлена (в центре) от концов.

Значит:

• Если \( x \) — в центре, то оно лежит на серединном перпендикуляре (В выполнено).
• Если \( x \) лежит на серединном перпендикуляре, то оно может быть в центре (тогда А выполнено), но также может находиться вне центра (А не выполнено).

Ответ:

В — лежит на серединном перпендикуляре — является недостаточным условием для А (H).

Потому что, чтобы А было выполнено, точка должна находиться именно в центре (на пересечении перпендикуляра с отрезком).

Но:

• В — недостаточно, чтобы гарантировать А, так как точка, лежащая на серединном перпендикуляре, может находиться вне центра.

Итог:

В является недостаточным условием (H) для А.

Ответ: Недостаточным, т.е. H.