Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 3x ^ 2 + y ^ 2 = 7 x ^ 2 + 2y ^ 2 = 9

Давайте решим систему уравнений методом алгебраического сложения пошагово, объясняя каждый этап.

Дана система: \[ \begin{cases} 3x^2 + y^2 = 7 \quad (1) \\ x^2 + 2y^2 = 9 \quad (2) \end{cases} \]

Шаг 1. Обозначим и запишем исходные уравнения:

• Уравнение (1): \(3x^2 + y^2 = 7\)
• Уравнение (2): \(x^2 + 2y^2 = 9\)

Шаг 2. Попытаемся сложить или вычесть уравнения для устранения одной из переменных.

Посмотрим, можем ли мы привести уравнения к одинаковым коэффициентам при одной из переменных. Для этого попробуем умножить уравнение (1) на 2, чтобы коэффициенты при \(y^2\) в обоих уравнениях стали одинаковыми.

\[ 2 \times (1): \quad 2 \times (3x^2 + y^2) = 2 \times 7 \] \[ 6x^2 + 2 y^2 = 14 \quad (3) \]

Теперь у нас есть уравнение (3), и оно похоже на уравнение (2).

Шаг 3. Вычтем уравнение (2) из уравнения (3), чтобы избавиться от \(x^2\):

\[ (6x^2 + 2 y^2) - (x^2 + 2 y^2) = 14 - 9 \] \[ 6x^2 + 2 y^2 - x^2 - 2 y^2 = 5 \] \[ (6x^2 - x^2) + (2 y^2 - 2 y^2) = 5 \] \[ 5 x^2 = 5 \]

Шаг 4. Решим полученное уравнение:

\[ 5 x^2 = 5 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]

Итак, значения \(x\): \(\boxed{x = 1}\) или \(\boxed{x = -1}\).

Шаг 5. Подставим полученные значения \(x\) в одно из исходных уравнений для нахождения \(y\). Например, возьмем уравнение (2):

Для \(x=1\): \[ x^2 + 2 y^2 = 9 \] \[ (1)^2 + 2 y^2 = 9 \] \[ 1 + 2 y^2 = 9 \] \[ 2 y^2 = 8 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \]

Аналогично для \(x=-1\): \[ (-1)^2 + 2 y^2 = 9 \] Это то же самое, что и в предыдущем случае, поэтому: \[ 1 + 2 y^2 = 9 \] \[ 2 y^2 = 8 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \]

Итоговые решения:

\[ \boxed{ \begin{cases} x = 1,\quad y = \pm 2 \\ x = -1,\quad y = \pm 2 \end{cases} } \]

Ответ:

• \((1, 2)\)
• \((1, -2)\)
• \((-1, 2)\)
• \((-1, -2)\)

Если есть необходимость, можно проверить каждое решение подставлением обратно в исходные уравнения, что подтвердит их правильность.