Давайте разберем задачу по шагам.
Задача:
Найти относительное число распавшихся ядер ( N_t / N_0 ) через время, если исходное число ядер равно ( N_0 ), а на момент времени прошло ( t = 0,27 ) периода полураспада.
Шаг 1. Формула радиоактивного распада
Количество оставшихся ядер через время ( t ) при радиоактивном распаде описывается формулой:
[
N_t = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
где:
- ( N_0 ) — исходное число ядер,
- ( N_t ) — число ядер после времени ( t ),
- ( T_{1/2} ) — период полураспада.
Шаг 2. Выразить отношение ( N_t / N_0 )
Относительное число распавшихся ядер — это число ядер, которые распались, делённое на исходное число:
[
\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{N_t}{N_0}
]
Нам, однако, нужно найти именно ( N_t / N_0 ), то есть долю оставшихся ядер.
Шаг 3. Подставить ( t = 0,27 T_{1/2} )
В формуле:
[
\frac{N_t}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,27}
]
Шаг 4. Вычислить
Используем калькулятор:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,27}
]
Это можно переписать как:
[
2^{-0,27}
]
или непосредственно вычислить:
[
2^{-0,27} = \frac{1}{2^{0,27}}
]
Посчитаем ( 2^{0,27} ):
[
2^{0,27} \approx e^{0,27 \times \ln 2} \approx e^{0,27 \times 0,693} \approx e^{0,187} \approx 1,206
]
Тогда:
[
\frac{1}{1,206} \approx 0,829
]
Ответ:
[
\boxed{0,83}
]
(округленно до сотых).
Итог:
Через 0,27 периода полураспада остаётся примерно 83% исходных ядер.
Если нужно найти долю распавшихся ядер, то:
[
\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - 0,83 = 0,17
]
то есть распалось около 17% ядер за этот промежуток времени.
