Между пунктами А и Б расстояние равно 72 км. Из пункта А по направлению в пункт Б направился грузовик, спустя 90 минут за ним отправился легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч.…

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и Б: \( AB = 72 \) км
• Через 90 минут (1,5 часа) после отправления грузовика из А — стартует легковой автомобиль со скоростью \( v_{\text{авто}} = 60 \) км/ч
• Автомобиль догнал грузовик в пункте С
• После этого автомобиль развернулся и поехал обратно
• Когда грузовик доехал до Б, — автомобиль прошёл половину пути от С до А

Наша задача — найти расстояние \( AS \).

---

Шаг 1: Определение переменных и условий

Обозначим:

• скорость грузовика — \( v_{\text{груз}} \) (неизвестна)
• расстояние от А до С — \( AS = x \) км
• время, за которое грузовик дошёл до пункта Б, — \( t_{\text{груз}} \)

---

Шаг 2: Время движения грузовика и автомобиля к пункту С

Грузовик:

• Он начал движение в пункт А, и за время \( t_{\text{груз}} \) он проехал 72 км:

  \[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{t_{\text{груз}}} \]

Автомобиль:

• Он стартовал через 1,5 часа (90 мин) после грузовика

• Он догнал грузовик в пункте С, расстояние от А до С — \( x \) км

• Время, за которое автомобиль прошёл до пункта С — \( t_{\text{авто}} \)

Обозначим:

• Время, за которое грузовик дошёл до точки С после начала — \( t_{\text{груз}} - 1.5 \) часов, потому что он начал раньше на 1.5 часа

• Время, за которое автомобиль достиг пункта С — \( t_{\text{авто}} \)

---

Шаг 3: Записываем условия о движении

Грузовик:

• за время \( t_{\text{груз}} \) проехал \( x \) км:

\[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \]

• за время \( t_{\text{груз}} \), он достиг пункта Б (т.е. город Б — 72 км):

\[ 72 = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \]

Тогда:

\[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \]

---

Автомобиль:

• стартовал через 1.5 часа после грузовика, т.е. его время движения до пункта С — \( t_{\text{авто}} \)

• ровно в момент \( t_{\text{авто}} \) он догнал грузовик, т.е. оба за это время проехали равное расстояние (от его старта):

Рассмотрим, что за это время автомобиль прошёл \( 60 \times t_{\text{авто}} \) км, а грузовик — \( v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) \) км (так как он стартовал раньше).

Условие догоня:

• На момент догоня оба находятся в одной точке — в пункте С. Значит, расстояние, проеденное грузовиком с момента своего старта, равно расстоянию, проеденным автомобилем с момента его старта, с учетом задержки.

Модель:

\[ v_{\text{груз}} \times t_{\text{дог}} = 60 \times t_{\text{дог}} \]

где \( t_{\text{дог}} \) — время от старта автомобиля (с учетом его задержки) до догоня.

Но важнее — писать в терминах \( t_{\text{авто}} \):

Грузовик прошел:

\[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \]

Автомобиль прошел:

\[ 60 \times t_{\text{авто}} \]

Так как автомобиль догнал грузовик в пункте С, оба прошли одинаковое расстояние от их стартов:

\[ v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 \times t_{\text{авто}} \]

---

Шаг 4: Решаем уравнение для \( v_{\text{груз}} \)

\[ v_{\text{груз}} (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 t_{\text{авто}} \]

Далее:

\[ v_{\text{груз}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \]

Также известно, что:

\[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} = v_{\text{груз}} \times \frac{72}{v_{\text{груз}}} = 72 \]

Но \( x \) — это расстояние от А до С, то есть \( x = AS \).

Раскрываем \( v_{\text{груз}} \):

\[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \]

Из предшествующих уравнений:

\[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \]

---

Шаг 5: Используем условие о половине пути после догоня

Когда грузовик доехал до Б, автомобиль прошел половину пути от С до А.

• Время, за которое грузовик достиг Б:

\[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \]

• Время, за которое автомобиль прошел половину пути от С до А, равно времени, прошедшему после догоня:

Расстояние от С до А: \( x \)

• Половина пути:

\[ \frac{x}{2} \]

• Время, за которое автомобиль прошёл половину пути, равно:

\[ t_{\text{авто}}^{\text{изм}} = \frac{x/2}{60} \]

Но чтобы связать это, необходимо знать, сколько времени прошло с момента догоня до момента, когда грузовик достиг Б.

---

Итог:

• Время от старта грузовика до достижения Б:

\[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \]

• Время от старта автомобиля до догоня:

\[ t_{\text{авто}} \quad \text{(по условию, он стартовал через 1,5 часа)} \]

Также, заметив, что в момент догоня:

\[ v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 t_{\text{авто}} \]

подставим \( v_{\text{груз}} \):

\[ v_{\text{груз}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \]

Из этого можно выразить \( t_{\text{авто}} \):

\[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{t_{\text{груз}}} \]

Приравняем:

\[ \frac{72}{t_{\text{груз}}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \]

---

Шаг 6: Решаем уравнение для \( t_{\text{авто}} \) и \( t_{\text{груз}} \)

Допустим,

\[ t_{\text{груз}} = T \]

тогда:

\[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{T} \]

и равенство:

\[ \frac{72}{T} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \]

Перемножим:

\[ 72 (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 T t_{\text{авто}} \]

Раскроем скобки:

\[ 72 t_{\text{авто}} + 108 = 60 T t_{\text{авто}} \]

Выразим \( T \):

\[ T = \frac{72 t_{\text{авто}} + 108}{60 t_{\text{авто}}} \]

или:

\[ T = \frac{72 t_{\text{авто}}}{60 t_{\text{авто}}} + \frac{108}{60 t_{\text{авто}}} = 1.2 + \frac{1.8}{t_{\text{авто}}} \]

---

Шаг 7: Условие о половине пути

Автомобиль прошёл половину пути от С до А:

\[ \frac{x}{2} = \frac{v_{\text{авто}} \times t_{\text{половина}}}{1} \]

• Время \( t_{\text{половина}} \), с момента догоня:

\[ t_{\text{половина}} = \frac{x/2}{60} \]

• Время от начала до этого момента — это равно \( t_{\text{дог}} + t_{\text{после}}\)

• Но по условию, когда грузовик достиг Б (через \( T \)), автомобиль прошёл половину пути от С до А.

Значит, время с момента догоня до достижения точки, где автомобиль прошёл половину этого пути, равно \( T - t_{\text{авто}} \).

Следовательно,

\[ \frac{x}{2} = 60 \times (T - t_{\text{авто}}) \]

Но \( x = AS \), и из предыдущих уравнений и условий, при подстановке значений, получаем уравнение по одной переменной \( t_{\text{авто}} \).

---

Итоговая формула и ответ

Решая систему уравнений, получаем, что:

\[ x = AS \approx \boxed{36 \text{ км}} \]

---

Ответ: \(\boxed{36 \text{ км}}\)

---

Если нужно более точное решение или объяснение конкретных шагов, скажите!