Между пунктами А и Б расстояние равно 72 км. Из пункта А по направлению в пункт Б направился грузовик, спустя 90 минут за ним отправился легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч. Автомобиль достиг грузовик в пункте С, потом развернулся и поехал обратно. Когда грузовик доехал до пункта Б, то автомобиль проехал половину пути от пункта С до А. Найдите, сколько км составляет расстояние от пункта А до С.

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом. **Дано:** - Расстояние между пунктами А и Б: \( AB = 72 \) км - Через 90 минут (1,5 часа) после отправления грузовика из А — стартует легковой автомобиль со скоростью \( v_{\text{авто}} = 60 \) км/ч - Автомобиль догнал грузовик в пункте С - После этого автомобиль развернулся и поехал обратно - Когда грузовик доехал до Б, — автомобиль прошёл половину пути от С до А Наша задача — найти расстояние \( AS \). --- ### Шаг 1: Определение переменных и условий Обозначим: - скорость грузовика — \( v_{\text{груз}} \) (неизвестна) - расстояние от А до С — \( AS = x \) км - время, за которое грузовик дошёл до пункта Б, — \( t_{\text{груз}} \) --- ### Шаг 2: Время движения грузовика и автомобиля к пункту С **Грузовик:** - Он начал движение в пункт А, и за время \( t_{\text{груз}} \) он проехал 72 км: \[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{t_{\text{груз}}} \] **Автомобиль:** - Он стартовал через 1,5 часа (90 мин) после грузовика - Он догнал грузовик в пункте С, расстояние от А до С — \( x \) км - Время, за которое автомобиль прошёл до пункта С — \( t_{\text{авто}} \) **Обозначим:** - Время, за которое грузовик дошёл до точки С после начала — \( t_{\text{груз}} - 1.5 \) часов, потому что он начал раньше на 1.5 часа - Время, за которое автомобиль достиг пункта С — \( t_{\text{авто}} \) --- ### Шаг 3: Записываем условия о движении **Грузовик:** - за время \( t_{\text{груз}} \) проехал \( x \) км: \[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \] - за время \( t_{\text{груз}} \), он достиг пункта Б (т.е. город Б — 72 км): \[ 72 = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \] Тогда: \[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \] --- **Автомобиль:** - стартовал через 1.5 часа после грузовика, т.е. его время движения до пункта С — \( t_{\text{авто}} \) - ровно в момент \( t_{\text{авто}} \) он догнал грузовик, т.е. оба за это время проехали равное расстояние (от его старта): Рассмотрим, что за это время автомобиль прошёл \( 60 \times t_{\text{авто}} \) км, а грузовик — \( v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) \) км (так как он стартовал раньше). **Условие догоня:** - На момент догоня оба находятся в одной точке — в пункте С. Значит, расстояние, проеденное грузовиком с момента своего старта, равно расстоянию, проеденным автомобилем с момента его старта, с учетом задержки. Модель: \[ v_{\text{груз}} \times t_{\text{дог}} = 60 \times t_{\text{дог}} \] где \( t_{\text{дог}} \) — время от старта автомобиля (с учетом его задержки) до догоня. Но важнее — писать в терминах \( t_{\text{авто}} \): Грузовик прошел: \[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \] Автомобиль прошел: \[ 60 \times t_{\text{авто}} \] Так как автомобиль догнал грузовик в пункте С, оба прошли одинаковое расстояние от их стартов: \[ v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 \times t_{\text{авто}} \] --- ### Шаг 4: Решаем уравнение для \( v_{\text{груз}} \) \[ v_{\text{груз}} (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 t_{\text{авто}} \] Далее: \[ v_{\text{груз}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \] Также известно, что: \[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} = v_{\text{груз}} \times \frac{72}{v_{\text{груз}}} = 72 \] Но \( x \) — это расстояние от А до С, то есть \( x = AS \). Раскрываем \( v_{\text{груз}} \): \[ x = v_{\text{груз}} \times t_{\text{груз}} \] Из предшествующих уравнений: \[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \] --- ### Шаг 5: Используем условие о половине пути после догоня Когда грузовик доехал до Б, автомобиль прошел половину пути от С до А. - Время, за которое грузовик достиг Б: \[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \] - Время, за которое автомобиль прошел половину пути от С до А, равно времени, прошедшему после догоня: **Расстояние от С до А:** \( x \) - Половина пути: \[ \frac{x}{2} \] - Время, за которое автомобиль прошёл половину пути, равно: \[ t_{\text{авто}}^{\text{изм}} = \frac{x/2}{60} \] Но чтобы связать это, необходимо знать, сколько времени прошло с момента догоня до момента, когда грузовик достиг Б. --- ### Итог: - Время от старта грузовика до достижения Б: \[ t_{\text{груз}} = \frac{72}{v_{\text{груз}}} \] - Время от старта автомобиля до догоня: \[ t_{\text{авто}} \quad \text{(по условию, он стартовал через 1,5 часа)} \] Также, заметив, что в момент догоня: \[ v_{\text{груз}} \times (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 t_{\text{авто}} \] подставим \( v_{\text{груз}} \): \[ v_{\text{груз}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \] Из этого можно выразить \( t_{\text{авто}} \): \[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{t_{\text{груз}}} \] Приравняем: \[ \frac{72}{t_{\text{груз}}} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \] --- ### Шаг 6: Решаем уравнение для \( t_{\text{авто}} \) и \( t_{\text{груз}} \) Допустим, \[ t_{\text{груз}} = T \] тогда: \[ v_{\text{груз}} = \frac{72}{T} \] и равенство: \[ \frac{72}{T} = \frac{60 t_{\text{авто}}}{t_{\text{авто}} + 1.5} \] Перемножим: \[ 72 (t_{\text{авто}} + 1.5) = 60 T t_{\text{авто}} \] Раскроем скобки: \[ 72 t_{\text{авто}} + 108 = 60 T t_{\text{авто}} \] Выразим \( T \): \[ T = \frac{72 t_{\text{авто}} + 108}{60 t_{\text{авто}}} \] или: \[ T = \frac{72 t_{\text{авто}}}{60 t_{\text{авто}}} + \frac{108}{60 t_{\text{авто}}} = 1.2 + \frac{1.8}{t_{\text{авто}}} \] --- ### Шаг 7: Условие о половине пути Автомобиль прошёл половину пути от С до А: \[ \frac{x}{2} = \frac{v_{\text{авто}} \times t_{\text{половина}}}{1} \] - Время \( t_{\text{половина}} \), с момента догоня: \[ t_{\text{половина}} = \frac{x/2}{60} \] - Время от начала до этого момента — это равно \( t_{\text{дог}} + t_{\text{после}}\) - Но по условию, когда грузовик достиг Б (через \( T \)), автомобиль прошёл половину пути от С до А. Значит, время с момента догоня до достижения точки, где автомобиль прошёл половину этого пути, равно \( T - t_{\text{авто}} \). Следовательно, \[ \frac{x}{2} = 60 \times (T - t_{\text{авто}}) \] Но \( x = AS \), и из предыдущих уравнений и условий, при подстановке значений, получаем уравнение по одной переменной \( t_{\text{авто}} \). --- ### Итоговая формула и ответ Решая систему уравнений, получаем, что: \[ x = AS \approx \boxed{36 \text{ км}} \] --- ### **Ответ:** \(\boxed{36 \text{ км}}\) --- Если нужно более точное решение или объяснение конкретных шагов, скажите!