найти значение выражения (9а²-1/16b²):(3a-1/4b) при а=2/3 и b =-1/12
Давайте подробно решим задачу. Нам нужно найти значение выражения:
\[ \frac{9a^2 - \frac{1}{16}b^2}{3a - \frac{1}{4}b} \]
при \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{12}\).
Шаг 1. Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение
\[ \frac{9 \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{1}{16} \left(-\frac{1}{12}\right)^2}{3 \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \times \left(-\frac{1}{12}\right)} \]
Шаг 2. Вычислим числитель
Числитель: \(9a^2 - \frac{1}{16}b^2\)
- Вычислим \(a^2\):
\[ a^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
- Умножим на 9:
\[ 9 \times \frac{4}{9} = 4 \]
- Вычислим \(b^2\):
\[ b^2 = \left(-\frac{1}{12}\right)^2 = \frac{1}{144} \]
- Теперь найдём \(\frac{1}{16}b^2\):
\[ \frac{1}{16} \times \frac{1}{144} = \frac{1}{16 \times 144} = \frac{1}{2304} \]
- Итак, числитель:
\[ 4 - \frac{1}{2304} \]
Чтобы сложить эти числа, приведём их к общему знаменателю:
\[ 4 = \frac{4 \times 2304}{2304} = \frac{9216}{2304} \]
Следовательно,
\[ \text{числитель} = \frac{9216}{2304} - \frac{1}{2304} = \frac{9216 - 1}{2304} = \frac{9215}{2304} \]
Шаг 3. Вычислим знаменатель
Знаменатель: \(3a - \frac{1}{4}b\)
- Найдём \(3a\):
\[ 3 \times \frac{2}{3} = 2 \]
- Найдём \(\frac{1}{4}b\):
\[ \frac{1}{4} \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{12} = -\frac{1}{48} \]
- Теперь составим знаменатель:
\[ 2 - (-\frac{1}{48}) = 2 + \frac{1}{48} \]
Приведём к общему знаменателю (48):
\[ 2 = \frac{2 \times 48}{48} = \frac{96}{48} \]
Итак,
\[ \frac{96}{48} + \frac{1}{48} = \frac{97}{48} \]
Шаг 4. Итоговое выражение
\[ \frac{\frac{9215}{2304}}{\frac{97}{48}} \]
Деление дробей — это умножение на обратную:
\[ \frac{9215}{2304} \times \frac{48}{97} \]
Шаг 5. Упростим и вычислим
Перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{9215 \times 48}{2304 \times 97} \]
Шаг 6. Упростим выражение
Обратим внимание, что \(2304\) и \(48\) — делимые числа:
- \(2304 \div 48 = 48\)
Поэтому:
\[ \frac{9215 \times 48}{2304 \times 97} = \frac{9215 \times 48}{48 \times 48 \times 97} \]
или:
\[ \frac{9215 \times 48}{48 \times 48 \times 97} \]
Можно сократить на 48:
\[ \frac{9215 \times \cancel{48}}{\cancel{48} \times 48 \times 97} = \frac{9215}{48 \times 97} \]
Посчитаем \(48 \times 97\):
\[ 48 \times 97 = (50 - 2) \times 97 = 50 \times 97 - 2 \times 97 = 4850 - 194 = 4656 \]
Итак, окончательное выражение:
\[ \frac{9215}{4656} \]
Это несократимая дробь, поскольку 9215 и 4656 не имеют общих делителей (на всякий случай проверим делимость на 5):
- \(9215\) делится на 5 (\последняя цифра 5),
- \(4656\) — не делится на 5 (последняя цифра 6).
Значит, дробь уже сокращена.
Ответ:
Значение выражения равно \(\displaystyle \frac{9215}{4656}\).
