Найти значение выражения (9а²-1/16b²):(3a-1/4b) при а=2/3 и b =-1/12

Давайте подробно решим задачу. Нам нужно найти значение выражения: \[ \frac{9a^2 - \frac{1}{16}b^2}{3a - \frac{1}{4}b} \] при \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{12}\). --- ### Шаг 1. Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение \[ \frac{9 \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{1}{16} \left(-\frac{1}{12}\right)^2}{3 \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \times \left(-\frac{1}{12}\right)} \] --- ### Шаг 2. Вычислим числитель **Числитель:** \(9a^2 - \frac{1}{16}b^2\) - Вычислим \(a^2\): \[ a^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] - Умножим на 9: \[ 9 \times \frac{4}{9} = 4 \] - Вычислим \(b^2\): \[ b^2 = \left(-\frac{1}{12}\right)^2 = \frac{1}{144} \] - Теперь найдём \(\frac{1}{16}b^2\): \[ \frac{1}{16} \times \frac{1}{144} = \frac{1}{16 \times 144} = \frac{1}{2304} \] - Итак, числитель: \[ 4 - \frac{1}{2304} \] Чтобы сложить эти числа, приведём их к общему знаменателю: \[ 4 = \frac{4 \times 2304}{2304} = \frac{9216}{2304} \] Следовательно, \[ \text{числитель} = \frac{9216}{2304} - \frac{1}{2304} = \frac{9216 - 1}{2304} = \frac{9215}{2304} \] --- ### Шаг 3. Вычислим знаменатель **Знаменатель:** \(3a - \frac{1}{4}b\) - Найдём \(3a\): \[ 3 \times \frac{2}{3} = 2 \] - Найдём \(\frac{1}{4}b\): \[ \frac{1}{4} \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{12} = -\frac{1}{48} \] - Теперь составим знаменатель: \[ 2 - (-\frac{1}{48}) = 2 + \frac{1}{48} \] Приведём к общему знаменателю (48): \[ 2 = \frac{2 \times 48}{48} = \frac{96}{48} \] Итак, \[ \frac{96}{48} + \frac{1}{48} = \frac{97}{48} \] --- ### Шаг 4. Итоговое выражение \[ \frac{\frac{9215}{2304}}{\frac{97}{48}} \] Деление дробей — это умножение на обратную: \[ \frac{9215}{2304} \times \frac{48}{97} \] --- ### Шаг 5. Упростим и вычислим Перемножим числители и знаменатели: \[ \frac{9215 \times 48}{2304 \times 97} \] --- ### Шаг 6. Упростим выражение Обратим внимание, что \(2304\) и \(48\) — делимые числа: - \(2304 \div 48 = 48\) Поэтому: \[ \frac{9215 \times 48}{2304 \times 97} = \frac{9215 \times 48}{48 \times 48 \times 97} \] или: \[ \frac{9215 \times 48}{48 \times 48 \times 97} \] Можно сократить на 48: \[ \frac{9215 \times \cancel{48}}{\cancel{48} \times 48 \times 97} = \frac{9215}{48 \times 97} \] Посчитаем \(48 \times 97\): \[ 48 \times 97 = (50 - 2) \times 97 = 50 \times 97 - 2 \times 97 = 4850 - 194 = 4656 \] Итак, окончательное выражение: \[ \frac{9215}{4656} \] Это несократимая дробь, поскольку 9215 и 4656 не имеют общих делителей (на всякий случай проверим делимость на 5): - \(9215\) делится на 5 (\последняя цифра 5), - \(4656\) — не делится на 5 (последняя цифра 6). Значит, дробь уже сокращена. --- ### **Ответ:** **Значение выражения равно \(\displaystyle \frac{9215}{4656}\).**