Два товарища устроили гонки на велосипедах на дистанцию длиной 63 км. Известно, что скорость первого велосипедиста была на 12 км/ч больше, чем скорость второго. С какой скоростью…

Давайте решим задачу пошагово.

Обозначения:

• Пусть скорость второго велосипедиста равна \( v_2 \) км/ч.
• Тогда скорость первого велосипедиста: \( v_1 = v_2 + 12 \) км/ч.
• Длина дистанции: 63 км.
• Разница во времени: 20 минут, то есть \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа.

Шаг 1. Запишем формулы времени, затраченного каждым велосипедистом на прохождение дистанции:

• Время первого: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{63}{v_1} \).
• Время второго: \( t_2 = \frac{63}{v_2} \).

Шаг 2. Согласно условию, первый завершил раньше на 20 минут: \[ t_2 - t_1 = \frac{1}{3} \text{ часа} \]

Подставим выражения для времени: \[ \frac{63}{v_2} - \frac{63}{v_1} = \frac{1}{3} \]

Заменим \( v_1 = v_2 + 12 \): \[ \frac{63}{v_2} - \frac{63}{v_2 + 12} = \frac{1}{3} \]

Шаг 3. Приведем левую часть к общему виду:

Общий знаменатель: \( v_2 (v_2 + 12) \).

Перепишем: \[ \frac{63 (v_2 + 12) - 63 v_2}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3} \]

Раскроем числитель: \[ 63 v_2 + 63 \times 12 - 63 v_2 = 63 \times 12 \]

Обратите внимание, что \( 63 v_2 - 63 v_2 = 0 \), остается только \( 63 \times 12 \):

\[ \frac{63 \times 12}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3} \]

Шаг 4. Вычислим числитель: \[ 63 \times 12 = 756 \]

Тогда уравнение: \[ \frac{756}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3} \]

Перемножим обе части на \( v_2 (v_2 + 12) \): \[ 756 = \frac{1}{3} v_2 (v_2 + 12) \]

Умножим обе части на 3: \[ 2268 = v_2 (v_2 + 12) \]

Раскроем скобки: \[ v_2^2 + 12 v_2 = 2268 \]

Запишем квадратичное уравнение: \[ v_2^2 + 12 v_2 - 2268 = 0 \]

Шаг 5. Решим квадратное уравнение.

Дискриминант: \[ D = 12^2 - 4 \times 1 \times (-2268) = 144 + 9072 = 9216 \]

Найдём корни: \[ v_2 = \frac{-12 \pm \sqrt{9216}}{2} \]

Вычислим √9216: \[ \sqrt{9216} = 96 \]

Следовательно: \[ v_2 = \frac{-12 \pm 96}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle v_2 = \frac{-12 + 96}{2} = \frac{84}{2} = 42\) км/ч.
2. \(\displaystyle v_2 = \frac{-12 - 96}{2} = \frac{-108}{2} = -54\) км/ч (отрицательная скорость, невозможна).

Значит, допустимый ответ: \[ v_2 = 42 \text{ км/ч} \]

Шаг 6. Найдём скорость первого велосипедиста: \[ v_1 = v_2 + 12 = 42 + 12 = 54 \text{ км/ч} \]

Ответ: Первый велосипедист двигался со скоростью 54 км/ч.