Давайте решим задачу пошагово.
Обозначения:
- Пусть скорость второго велосипедиста равна ( v_2 ) км/ч.
- Тогда скорость первого велосипедиста: ( v_1 = v_2 + 12 ) км/ч.
- Длина дистанции: 63 км.
- Разница во времени: 20 минут, то есть (\frac{20}{60} = \frac{1}{3}) часа.
Шаг 1. Запишем формулы времени, затраченного каждым велосипедистом на прохождение дистанции:
- Время первого: ( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{63}{v_1} ).
- Время второго: ( t_2 = \frac{63}{v_2} ).
Шаг 2. Согласно условию, первый завершил раньше на 20 минут:
[
t_2 - t_1 = \frac{1}{3} \text{ часа}
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{63}{v_2} - \frac{63}{v_1} = \frac{1}{3}
]
Заменим ( v_1 = v_2 + 12 ):
[
\frac{63}{v_2} - \frac{63}{v_2 + 12} = \frac{1}{3}
]
Шаг 3. Приведем левую часть к общему виду:
Общий знаменатель: ( v_2 (v_2 + 12) ).
Перепишем:
[
\frac{63 (v_2 + 12) - 63 v_2}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3}
]
Раскроем числитель:
[
63 v_2 + 63 \times 12 - 63 v_2 = 63 \times 12
]
Обратите внимание, что ( 63 v_2 - 63 v_2 = 0 ), остается только ( 63 \times 12 ):
[
\frac{63 \times 12}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3}
]
Шаг 4. Вычислим числитель:
[
63 \times 12 = 756
]
Тогда уравнение:
[
\frac{756}{v_2 (v_2 + 12)} = \frac{1}{3}
]
Перемножим обе части на ( v_2 (v_2 + 12) ):
[
756 = \frac{1}{3} v_2 (v_2 + 12)
]
Умножим обе части на 3:
[
2268 = v_2 (v_2 + 12)
]
Раскроем скобки:
[
v_2^2 + 12 v_2 = 2268
]
Запишем квадратичное уравнение:
[
v_2^2 + 12 v_2 - 2268 = 0
]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение.
Дискриминант:
[
D = 12^2 - 4 \times 1 \times (-2268) = 144 + 9072 = 9216
]
Найдём корни:
[
v_2 = \frac{-12 \pm \sqrt{9216}}{2}
]
Вычислим √9216:
[
\sqrt{9216} = 96
]
Следовательно:
[
v_2 = \frac{-12 \pm 96}{2}
]
Два варианта:
- (\displaystyle v_2 = \frac{-12 + 96}{2} = \frac{84}{2} = 42) км/ч.
- (\displaystyle v_2 = \frac{-12 - 96}{2} = \frac{-108}{2} = -54) км/ч (отрицательная скорость, невозможна).
Значит, допустимый ответ:
[
v_2 = 42 \text{ км/ч}
]
Шаг 6. Найдём скорость первого велосипедиста:
[
v_1 = v_2 + 12 = 42 + 12 = 54 \text{ км/ч}
]
Ответ: Первый велосипедист двигался со скоростью 54 км/ч.
