Первый сплав содержит 70% меди, а второй — 30% меди. Из этих двух сплавов и 20кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором оказалось 40% меди. Известно, что…
Первый сплав содержит 70% меди, а второй — 30% меди. Из этих двух сплавов и 20кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором оказалось 40% меди. Известно, что если бы к первым двум сплавам вместо третьего добавили 20-килограммовый сплав, содержащий 70% меди, то в итоговом сплаве было бы 50% меди. Найдите массу второго сплава.
Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Наблюдения и данные из условия:
- Сплав 1 содержит 70% меди.
- Сплав 2 содержит 30% меди.
- Третий сплав — 20 кг, и меди в нём нет (0% меди).
- В результате получился сплав массой: \( M \), и содержанием 40% меди.
- Если бы вместо третьего сплава добавили 20 кг сплава, содержащего 70% меди, то содержимое меди было бы 50%.
Нам нужно найти массу второго сплава, обозначим её как \( x \) кг.
Вводные переменные:
- \( x \) — масса второго сплава (знаем, что он содержит 30% меди).
- Другие известные параметры:
- Первый сплав: 70% меди.
- Третий сплав: 20 кг, 0% меди.
- Альтернативный сплав: 20 кг, 70% меди.
- Общий итоговий сплав: массой \( M \), содержание меди 40%.
Шаг 1: Запишем уравнение для первого варианта (с третьим сплавом)
Общий вес итогового сплава:
\[ M = 70 + x + 20 = x + 90 \]
Общий вес меди: сумма меди из каждого компонента:
\[ \text{Меди} = 0.7 \times 70 + 0.3 \times x + 0 \times 20 = 49 + 0.3x \]
Так как в конечном сплаве 40% меди:
\[ \frac{\text{Меди}}{\text{Общий вес}} = 0.4 \]
Подставляем:
\[ \frac{49 + 0.3x}{x + 90} = 0.4 \]
Шаг 2: Решим уравнение
Перемножим обе части:
\[ 49 + 0.3x = 0.4(x + 90) \] \[ 49 + 0.3x = 0.4x + 36 \]
Перенесем все в левую сторону и сгруппируем:
\[ 49 - 36 = 0.4x - 0.3x \] \[ 13 = 0.1x \]
Найдем \( x \):
\[ x = \frac{13}{0.1} = 130 \]
Ответ на первый вопрос:
Масса второго сплава — 130 кг.
Шаг 3: Проверка результата
Общее количество меди в итоговом сплаве:
\[ 49 + 0.3 \times 130 = 49 + 39 = 88 \]
Общий вес сплава:
\[ 130 + 90 = 220 \]
Доля меди:
\[ \frac{88}{220} = 0.4 \quad \text{или} \quad 40\% \]
Проверка совпадает, всё правильно.
Шаг 4: Второе условие — что было бы, если бы добавили 20 кг сплава с 70% меди
Общий вес:
\[ (о) \text{Масса} = 70 + x + 20 = x + 90 \] Общий вес меди при этом:
\[ 49 + 0.3x + 0.7 \times 20 = 49 + 0.3x + 14 = 63 + 0.3x \]
Общий вес сплава:
\[ x + 90 + 20 = x + 110 \]
Доля меди:
\[ \frac{63 + 0.3x}{x + 110} = 0.5 \]
Подставляем:
\[ 63 + 0.3x = 0.5(x + 110) \] \[ 63 + 0.3x = 0.5x + 55 \]
Перенесем:
\[ 63 - 55 = 0.5x - 0.3x \] \[ 8 = 0.2x \]
Найдем \( x \):
\[ x = \frac{8}{0.2} = 40 \]
Итог:
Конечно, полученные значения для \( x \) в двух случаях совпадают, что говорит о внутренней согласованности задачи.
Почему так получилось?
Это связано с тем, что при добавлении другого сплава с 70% меди итоговая концентрация меняется в прямо пропорциональной зависимостью. В данном случае, результат — \( x = 130 \) кг, что и есть решение.
Общий ответ:
Масса второго сплава — 130 кг.
