Найдите синус косинус и тангенс острого угла равнобедренной трапеции если сумма боковых сторон равна 10см а основания 7см и 15 см
Давайте разберём задачу подробно, чтобы понять, как найти синус, косинус и тангенс острого угла равнобедренной трапеции.
Дано:
- Равнобедренная трапеция
- Боковые стороны (равные между собой): обозначим их как \( l \)
- Основания: меньшее — 7 см, большее — 15 см
- Сумма боковых сторон: 10 см, то есть: \( 2l = 10 \Rightarrow l = 5 \) см
Шаг 1. Обозначения и схемы
Пусть:
- Верхнее основание \( AB = 7 \) см
- Нижнее основание \( CD = 15 \) см
- Боковые стороны \( AD = BC = l = 5 \) см
Расставим точки так, чтобы увидеть фигуру:
A -------- B
/ \
/ \
D -------------- C
Где:
- \( AB \) — верхнее основание
- \( CD \) — нижнее основание
Поскольку трапеция равнобедренная:
- боковые стороны равны
- высота трапеции \( h \) и углы при основании — острые.
Шаг 2. Найдём высоту трапеции
Рассмотрим горизонтальную проекцию:
- Нижнее основание — 15 см
- Верхнее — 7 см
Это означает, что боковые стороны, наклоняясь, "поднимаются" на разницу в длине оснований:
\[ \text{разность оснований} = 15 - 7 = 8 \text{ см} \]
Так как трапеция симметрична, то оба "зазора" по бокам равны:
\[ \text{по полу разности} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \]
Обозначим высоту трапеции через \( h \). Исходя из того, что боковая сторона \( l = 5 \) см, и она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, основание которого равно 4 см, то:
\[ l^2 = h^2 + 4^2 \]
подставляем:
\[ 5^2 = h^2 + 16 \]
\[ 25 = h^2 + 16 \]
\[ h^2 = 25 - 16 = 9 \]
\[ h = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]
Шаг 3. Найдём угол \( \alpha \) — острый угол при боковой стороне
Рассмотрим один из боковых углов. В треугольнике, образованном боковой стороной \( l \), высотой \( h \) и горизонтальной проекцией (4 см):
- Катеты: \( h = 3 \) см и \( 4 \) см
- Гипотенуза: \( l = 5 \) см
Теперь найду тригонометрические функции для этого угла \( \alpha \), который является углом между боковой стороной и основанием.
Шаг 4. Вычисляем синус, косинус и тангенс
Синус \( \alpha \):
\[ \sin \alpha = \frac{\text opposite}{hypotenuse} = \frac{h}{l} = \frac{3}{5} = 0,6 \]
Косинус \( \alpha \):
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{4}{5} = 0,8 \]
Тангенс \( \alpha \):
\[ \tan \alpha = \frac{\text opposite}{прилежащий} = \frac{3}{4} = 0,75 \]
Итоговые ответы:
\[ \boxed{ \begin{aligned} & \sin \alpha = 0,6 \\ & \cos \alpha = 0,8 \\ & \tan \alpha = 0,75 \end{aligned} } \]
Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!
