В треугольнике NKM угол K равен 90°, а угол N в два раза больше угла M (см. рисунок). Найдите сторону NK, если известно, что сторона MN на 24 см больше стороны NK.В треугольнике…

Давайте внимательно разберем задачу и пошагово решим ее.

Итак, условие:

• В треугольнике NKM угол K равен 90°, то есть прямой угол.
• Угол N в два раза больше угла M.
• Длина стороны MN на 24 см больше стороны NK.
• Нужно найти сторону NK.

---

Шаг 1: Обозначения и основные данные

Обозначим углы:

• угол M — обозначим как \( x \) (в градусах),
• тогда угол N — в два раза больше — \( 2x \),
• и угол K — прямой, то есть 90°.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно записать:

\[ x + 2x + 90^\circ = 180^\circ \]

---

Шаг 2: Решение уравнения для углов

Решим это уравнение:

\[ 3x + 90^\circ = 180^\circ \] \[ 3x = 90^\circ \] \[ x = 30^\circ \]

Следовательно:

• Угол M = 30°,
• Угол N = 60°,
• Угол K = 90°.

---

Шаг 3: Расположение сторон треугольника

В прямоугольном треугольнике стороны расположены так, что:

• Катеты — стороны, прилегающие к прямому углу K — это NK и KN,
• Гипотенуза — сторона MN.

Обозначим:

• \( NK = a \),
• \( KN = b \),
• \( MN = c \).

Поскольку сторона MN — гипотенуза, то она противоположна углу K, то есть против угла 90°.

---

Шаг 4: Использование соотношений сторон

В прямоугольном треугольнике стороны связаны с углами через тригонометрические функции:

• \( \text{Противоположный} \) — сторона, противоположная углу.
• \( \text{Соседний} \) — прилегающая к углу сторона.
• \( \text{Гипотенуза} \) — гипотенуза.

Поскольку:

• Угол N = 60°, то стороны, прилегающие к нему, связаны с \( \sin 60^\circ \) и \( \cos 60^\circ \).

Рассмотрим треугольник с углом N = 60°:

• Сторона, противоположная углу N (то есть сторона, напротив угла N), — это \( a \) (сторона, прилегающая к углу N),
• Сторона, прилегающая к углу N, — это \( b \),
• Гипотенуза — это \( c \) (сторона MN).

Тригонометрические соотношения:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} \] \[ \cos 60^\circ = \frac{\text{прилегающая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} \]

Подставим значения:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]

Следовательно:

\[ a = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = c \times \frac{1}{2} \]

---

Шаг 5: Связь сторон из условия

Из условия: "сторона MN (гипотенуза) на 24 см больше стороны NK".

Обозначим:

\[ MN = c, \] \[ NK = b, \]

Тогда:

\[ c = b + 24 \]

Подставим \( b \):

\[ b = c \times \frac{1}{2} \]

Получим:

\[ c = c \times \frac{1}{2} + 24 \]

---

Шаг 6: Решение уравнения для \( c \)

Решим уравнение:

\[ c = \frac{c}{2} + 24 \] \[ c - \frac{c}{2} = 24 \] \[ \frac{c}{2} = 24 \] \[ c = 48 \]

Значит, гипотенуза \( MN = c = 48 \) см.

---

Шаг 7: Находим сторону NK

Помним, что:

\[ b = \frac{c}{2} = \frac{48}{2} = 24 \]

---

Ответ:

Страна NK равна 24 см.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по какому-то шагу — скажите!