Давайте внимательно разберем задачу и пошагово решим ее.
Итак, условие:
- В треугольнике NKM угол K равен 90°, то есть прямой угол.
- Угол N в два раза больше угла M.
- Длина стороны MN на 24 см больше стороны NK.
- Нужно найти сторону NK.
Шаг 1: Обозначения и основные данные
Обозначим углы:
- угол M — обозначим как ( x ) (в градусах),
- тогда угол N — в два раза больше — ( 2x ),
- и угол K — прямой, то есть 90°.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно записать:
[
x + 2x + 90^\circ = 180^\circ
]
Шаг 2: Решение уравнения для углов
Решим это уравнение:
[
3x + 90^\circ = 180^\circ
]
[
3x = 90^\circ
]
[
x = 30^\circ
]
Следовательно:
- Угол M = 30°,
- Угол N = 60°,
- Угол K = 90°.
Шаг 3: Расположение сторон треугольника
В прямоугольном треугольнике стороны расположены так, что:
- Катеты — стороны, прилегающие к прямому углу K — это NK и KN,
- Гипотенуза — сторона MN.
Обозначим:
- ( NK = a ),
- ( KN = b ),
- ( MN = c ).
Поскольку сторона MN — гипотенуза, то она противоположна углу K, то есть против угла 90°.
Шаг 4: Использование соотношений сторон
В прямоугольном треугольнике стороны связаны с углами через тригонометрические функции:
- ( \text{Противоположный} ) — сторона, противоположная углу.
- ( \text{Соседний} ) — прилегающая к углу сторона.
- ( \text{Гипотенуза} ) — гипотенуза.
Поскольку:
- Угол N = 60°, то стороны, прилегающие к нему, связаны с ( \sin 60^\circ ) и ( \cos 60^\circ ).
Рассмотрим треугольник с углом N = 60°:
- Сторона, противоположная углу N (то есть сторона, напротив угла N), — это ( a ) (сторона, прилегающая к углу N),
- Сторона, прилегающая к углу N, — это ( b ),
- Гипотенуза — это ( c ) (сторона MN).
Тригонометрические соотношения:
[
\sin 60^\circ = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}
]
[
\cos 60^\circ = \frac{\text{прилегающая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}
]
Подставим значения:
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
]
Следовательно:
[
a = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
b = c \times \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Связь сторон из условия
Из условия: "сторона MN (гипотенуза) на 24 см больше стороны NK".
Обозначим:
[
MN = c,
]
[
NK = b,
]
Тогда:
[
c = b + 24
]
Подставим ( b ):
[
b = c \times \frac{1}{2}
]
Получим:
[
c = c \times \frac{1}{2} + 24
]
Шаг 6: Решение уравнения для ( c )
Решим уравнение:
[
c = \frac{c}{2} + 24
]
[
c - \frac{c}{2} = 24
]
[
\frac{c}{2} = 24
]
[
c = 48
]
Значит, гипотенуза ( MN = c = 48 ) см.
Шаг 7: Находим сторону NK
Помним, что:
[
b = \frac{c}{2} = \frac{48}{2} = 24
]
Ответ:
Страна NK равна 24 см.
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по какому-то шагу — скажите!
