x 3 + 16 x = 5 x 2 + 80 x 3 +16x=5x 2 +80 .

Давайте решим уравнение:
\[ x^3 + 16x = 5x^2 + 80 \]

Шаг 1. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить нулевую сторону:
\[ x^3 + 16x - 5x^2 - 80 = 0 \]

Шаг 2. Перепишем уравнение в стандартном порядке:
\[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = 0 \]

Шаг 3. Попытаемся найти рациональные корни с помощью теоремы Виета. Возможные рациональные делители свободного члена (-80) — это делители 80:
\[ \pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm8, \pm10, \pm16, \pm20, \pm40, \pm80 \]

Пробуем подставить эти значения и посмотрим, при каком из них выражение станет равно нулю.

Проверим сначала \( x=2 \):
\[ (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 + 16 \cdot 2 - 80 = 8 - 20 + 32 - 80 = (8 - 20) + (32 - 80) = -12 - 48 = -60 \neq 0 \]

Пробуем \( x=4 \):
\[ 4^3 - 5 \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 - 80 = 64 - 5 \cdot 16 + 64 - 80 = 64 -80 + 64 -80 = (64 - 80) + (64 - 80) = -16 -16= -32 \neq 0 \]

Пробуем \( x=5 \):
\[ 125 - 5 \cdot 25 + 16 \cdot 5 - 80 = 125 - 125 + 80 - 80 = 0 \]

Отлично! Мы нашли корень \( x=5 \).

Шаг 4. Выполним деление многочлена на \( x-5 \) для поиска оставшихся корней.

Используем деление многочлена \( x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \) на \( x-5 \):

Разбираемся с делением по схеме или с помощью длинного деления. Проведем деление по схеме.

Деление многочлена \( x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \) на \( x - 5 \):

1. Коэффициенты многочлена: 1, -5, 16, -80

2. Используем схему деления:

• Первый коэффициент — 1, делим на 1 — получаем 1.
• Первый результат — \( x^2 \) — умножаем \( (x-5) \) на \( x^2 \):
  \( x^3 - 5x^2 \)

Вычитаем этот из исходного — получаем:
\[ (x^3 - 5x^2 + 16x - 80) - (x^3 - 5x^2) = 0 + 0 + 16x - 80 \]

• Следующий коэффициент — 16x, делим на \( x \): получаем 16.
• Умножаем \( (x - 5) \) на 16:
  \( 16 x - 80 \)

Вычитаем:
\[ (16x - 80) - (16x - 80) = 0 \]

Остаток равен нулю, значит деление прошло идеально.

Итак, многочлен разложился так:
\[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = (x - 5)(x^2 + 16) \]

Шаг 5. Решаем уравнение \( x^2 + 16 = 0 \):

\[ x^2 = -16 \]

\[ x = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i \]

Это комплексные корни.

Ответ:

• Реальный корень: \( x = 5 \)
• Комплексные корни: \( x = 4i \) и \( x = -4i \)

Если требуется только действительный ответ, то он: \( \boxed{5} \).
Если нужно полностью — то все три корня: \( \boxed{x=5, \quad x=4i, \quad x=-4i} \).