X 3 + 16 x = 5 x 2 + 80 x 3 +16x=5x 2 +80.

Давайте решим уравнение: \[ x^3 + 16x = 5x^2 + 80 \] Шаг 1. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить нулевую сторону: \[ x^3 + 16x - 5x^2 - 80 = 0 \] Шаг 2. Перепишем уравнение в стандартном порядке: \[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = 0 \] Шаг 3. Попытаемся найти рациональные корни с помощью теоремы Виета. Возможные рациональные делители свободного члена (-80) — это делители 80: \[ \pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm8, \pm10, \pm16, \pm20, \pm40, \pm80 \] Пробуем подставить эти значения и посмотрим, при каком из них выражение станет равно нулю. Проверим сначала \( x=2 \): \[ (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 + 16 \cdot 2 - 80 = 8 - 20 + 32 - 80 = (8 - 20) + (32 - 80) = -12 - 48 = -60 \neq 0 \] Пробуем \( x=4 \): \[ 4^3 - 5 \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 - 80 = 64 - 5 \cdot 16 + 64 - 80 = 64 -80 + 64 -80 = (64 - 80) + (64 - 80) = -16 -16= -32 \neq 0 \] Пробуем \( x=5 \): \[ 125 - 5 \cdot 25 + 16 \cdot 5 - 80 = 125 - 125 + 80 - 80 = 0 \] Отлично! Мы нашли корень \( x=5 \). Шаг 4. Выполним деление многочлена на \( x-5 \) для поиска оставшихся корней. Используем деление многочлена \( x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \) на \( x-5 \): Разбираемся с делением по схеме или с помощью длинного деления. Проведем деление по схеме. --- Деление многочлена \( x^3 - 5x^2 + 16x - 80 \) на \( x - 5 \): 1. Коэффициенты многочлена: 1, -5, 16, -80 2. Используем схему деления: - Первый коэффициент — 1, делим на 1 — получаем 1. - Первый результат — \( x^2 \) — умножаем \( (x-5) \) на \( x^2 \): \( x^3 - 5x^2 \) Вычитаем этот из исходного — получаем: \[ (x^3 - 5x^2 + 16x - 80) - (x^3 - 5x^2) = 0 + 0 + 16x - 80 \] - Следующий коэффициент — 16x, делим на \( x \): получаем 16. - Умножаем \( (x - 5) \) на 16: \( 16 x - 80 \) Вычитаем: \[ (16x - 80) - (16x - 80) = 0 \] Остаток равен нулю, значит деление прошло идеально. --- Итак, многочлен разложился так: \[ x^3 - 5x^2 + 16x - 80 = (x - 5)(x^2 + 16) \] Шаг 5. Решаем уравнение \( x^2 + 16 = 0 \): \[ x^2 = -16 \] \[ x = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i \] Это комплексные корни. --- **Ответ:** - Реальный корень: \( x = 5 \) - Комплексные корни: \( x = 4i \) и \( x = -4i \) Если требуется только действительный ответ, то он: \( \boxed{5} \). Если нужно полностью — то все три корня: \( \boxed{x=5, \quad x=4i, \quad x=-4i} \).