Задание 106

Давайте разберём задачу по порядку.

Задача предлагает вычислить выражение: \[ \frac{4/7 - 2/17}{(4/60 - 2/45)}. \]

Шаг 1: Обработка числителя.

Числитель — это разность двух дробей: \[ \frac{4}{7} - \frac{2}{17}. \]

Чтобы выполнить вычитание, нужно найти их общий знаменатель.

Общий знаменатель:
\[ 7 \times 17 = 119. \]

Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

• \( \frac{4}{7} = \frac{4 \times 17}{7 \times 17} = \frac{68}{119} \),
• \( \frac{2}{17} = \frac{2 \times 7}{17 \times 7} = \frac{14}{119} \).

Теперь вычитаем:
\[ \frac{68}{119} - \frac{14}{119} = \frac{68 - 14}{119} = \frac{54}{119}. \]

Ответ на числитель: \(\frac{54}{119}\).

---

Шаг 2: Обработка знаменателя.

Знаменатель — это разность: \[ \frac{4}{60} - \frac{2}{45}. \]

Находим общий знаменатель:

• 60 и 45:
  \( \text{НОК}(60, 45) \).

Разложим на простые множители:

• \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \),
• \( 45 = 3^2 \times 5 \).

НАК (наименьшее общее кратное):
\[ 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180. \]

Перепишем дроби с знаменателем 180:

• \( \frac{4}{60} = \frac{4 \times 3}{60 \times 3} = \frac{12}{180} \),
• \( \frac{2}{45} = \frac{2 \times 4}{45 \times 4} = \frac{8}{180} \).

Вычитаем:
\[ \frac{12}{180} - \frac{8}{180} = \frac{12 - 8}{180} = \frac{4}{180}. \]

Сократим дробь:
\[ \frac{4}{180} = \frac{4 : 4}{180 : 4} = \frac{1}{45}. \]

Ответ на знаменатель: \(\frac{1}{45}\).

---

Шаг 3: Деление дробей.

Деление — это умножение на обратную дробь: \[ \frac{54/119}{1/45} = \frac{54}{119} \times \frac{45}{1} = \frac{54 \times 45}{119}. \]

Вычислим числитель:
\[ 54 \times 45. \]

Расчёт:

• \(54 \times 45 = (50 + 4) \times 45 = 50 \times 45 + 4 \times 45 = 2250 + 180 = 2430.\)

Общий результат:
\[ \frac{2430}{119}. \]

Шаг 4: Сокращение, если возможно.

Проверим делимость numerator и denominator:

• 119 — простое число: \(7 \times 17\).
• 2430 делится на 3 (так как сумма цифр 2+4+3+0=9, делится на 3), а 119 — нет.

Проверяем делимость 2430 на 7 или 17:

• 2430 делится на 3, повторно делим: 2430/3=810, тоже делится на 3: 810/3=270, а 119 не делится на 3, значит дробь нельзя сократить по 3 или 9.

Проверим делимость 119 на 7:

• 119/7=17 (целое), значит 119: 7 и 17.

Проверим делимость 2430 на 7:

• 7 × 347 = 2429, а 2430 — на 1 больше, значит на 7 редуцировать нельзя.

Проверим делимость 2430 на 17:

• 17 × 143=2431, чуть больше, значит нет.

Следовательно, дробь нельзя сократить.

Итоговый ответ:

\[ \boxed{\frac{2430}{119}}. \]

Это — полное и упрощенное решение задачи.