Задание 106

Давайте разберём задачу по порядку. Задача предлагает вычислить выражение: \[ \frac{4/7 - 2/17}{(4/60 - 2/45)}. \] **Шаг 1: Обработка числителя.** Числитель — это разность двух дробей: \[ \frac{4}{7} - \frac{2}{17}. \] Чтобы выполнить вычитание, нужно найти их общий знаменатель. Общий знаменатель: \[ 7 \times 17 = 119. \] Перепишем каждую дробь с этим знаменателем: - \( \frac{4}{7} = \frac{4 \times 17}{7 \times 17} = \frac{68}{119} \), - \( \frac{2}{17} = \frac{2 \times 7}{17 \times 7} = \frac{14}{119} \). Теперь вычитаем: \[ \frac{68}{119} - \frac{14}{119} = \frac{68 - 14}{119} = \frac{54}{119}. \] **Ответ на числитель: \(\frac{54}{119}\).** --- **Шаг 2: Обработка знаменателя.** Знаменатель — это разность: \[ \frac{4}{60} - \frac{2}{45}. \] Находим общий знаменатель: - 60 и 45: \( \text{НОК}(60, 45) \). Разложим на простые множители: - \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \), - \( 45 = 3^2 \times 5 \). НАК (наименьшее общее кратное): \[ 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180. \] Перепишем дроби с знаменателем 180: - \( \frac{4}{60} = \frac{4 \times 3}{60 \times 3} = \frac{12}{180} \), - \( \frac{2}{45} = \frac{2 \times 4}{45 \times 4} = \frac{8}{180} \). Вычитаем: \[ \frac{12}{180} - \frac{8}{180} = \frac{12 - 8}{180} = \frac{4}{180}. \] Сократим дробь: \[ \frac{4}{180} = \frac{4 : 4}{180 : 4} = \frac{1}{45}. \] **Ответ на знаменатель: \(\frac{1}{45}\).** --- **Шаг 3: Деление дробей.** Деление — это умножение на обратную дробь: \[ \frac{54/119}{1/45} = \frac{54}{119} \times \frac{45}{1} = \frac{54 \times 45}{119}. \] Вычислим числитель: \[ 54 \times 45. \] Расчёт: - \(54 \times 45 = (50 + 4) \times 45 = 50 \times 45 + 4 \times 45 = 2250 + 180 = 2430.\) Общий результат: \[ \frac{2430}{119}. \] **Шаг 4: Сокращение, если возможно.** Проверим делимость numerator и denominator: - 119 — простое число: \(7 \times 17\). - 2430 делится на 3 (так как сумма цифр 2+4+3+0=9, делится на 3), а 119 — нет. Проверяем делимость 2430 на 7 или 17: - 2430 делится на 3, повторно делим: 2430/3=810, тоже делится на 3: 810/3=270, а 119 не делится на 3, значит дробь нельзя сократить по 3 или 9. Проверим делимость 119 на 7: - 119/7=17 (целое), значит 119: 7 и 17. Проверим делимость 2430 на 7: - 7 × 347 = 2429, а 2430 — на 1 больше, значит на 7 редуцировать нельзя. Проверим делимость 2430 на 17: - 17 × 143=2431, чуть больше, значит нет. Следовательно, дробь нельзя сократить. **Итоговый ответ:** \[ \boxed{\frac{2430}{119}}. \] Это — полное и упрощенное решение задачи.