Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Начальная сумма на счету: ( S_0 = 1000 ) манат.
- Каждый месяц сумма уменьшается на 5%, то есть остается 95% от предыдущей.
- Требуется определить, через сколько месяцев сумма станет равна или меньше 400 манат.
Шаг 1: Запись уравнения
Обозначим количество месяцев как ( n ).
После каждого месяца сумма уменьшается на 5%, то есть:
[
S_n = S_0 \times (0.95)^n
]
Нам нужно найти минимальное ( n ), при котором:
[
S_n \leq 400
]
или
[
1000 \times (0.95)^n \leq 400
]
Шаг 2: Решение неравенства
Дифференцируем выражение:
[
(0.95)^n \leq \frac{400}{1000} = 0.4
]
То есть нам нужно найти ( n ), при котором:
[
(0.95)^n \leq 0.4
]
Шаг 3: Взятие логарифмов
Применим логарифмы к обеим частям неравенства (можно взять любой логарифм, например, натуральный или десятичный; лучше десятичный для удобства):
[
\log_{10} ((0.95)^n) \leq \log_{10}(0.4)
]
Используем свойство логарифмов:
[
n \times \log_{10}(0.95) \leq \log_{10}(0.4)
]
Шаг 4: Вычисление логарифмов
Значения логарифмов:
- (\log_{10}(0.95) \approx -0.0223)
- (\log_{10}(0.4) \approx -0.3979)
Подставляем:
[
n \times (-0.0223) \leq -0.3979
]
Шаг 5: Решение для ( n )
Делим обе части на (-0.0223), обратите внимание на знак неравенства, так как делим на отрицательное число — знак неравенства меняется:
[
n \geq \frac{-0.3979}{-0.0223} \approx 17.85
]
Таким образом,:
[
n \geq 17.85
]
Это означает, что через 17 месяцев сумма ещё не достигла 400, а после 18 месяцев уже снизится настолько.
Ответ:
Через 18 месяцев сумма на счету Лятифы станет меньше или равна 400 манат.
