. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей – 6 см.

Давайте подробно решим задачу по шагам.

Дано:

• Длина стороны ромба \(a = 15\, \text{см}\)
• Разность диагоналей \(d_1 - d_2 = 6\, \text{см}\)

Нам нужно найти площадь ромба.

Шаг 1: Свойства ромба и диагонали

• В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
• Обозначим диагонали: \(d_1\) и \(d_2\).
• Каждая диагональ делит ромб на четыре равных треугольника.

Шаг 2: Связь сторон и диагоналей

В половинке треугольника, полученного при делении диагоналями, стороны ромба \(a = 15\, \text{см}\), а прилегающие катеты — это половины диагоналей: \[ \frac{d_1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{d_2}{2} \]

Поскольку диагонали перпендикулярны, по теореме Пифагора в одном из таких треугольников: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]

Шаг 3: Используем условие разности диагоналей

Дано: \[ d_1 - d_2 = 6 \]

Обозначим: \[ d_2 = D \] тогда: \[ d_1 = D + 6 \]

Подставим в уравнение Пифагора: \[ a^2 = \left(\frac{D+6}{2}\right)^2 + \left(\frac{D}{2}\right)^2 \]

Подставим \(a=15\): \[ 15^2 = \left(\frac{D+6}{2}\right)^2 + \left(\frac{D}{2}\right)^2 \] \[ 225 = \frac{(D+6)^2}{4} + \frac{D^2}{4} \]

Объединим: \[ 225 = \frac{(D+6)^2 + D^2}{4} \] \[ 900 = (D+6)^2 + D^2 \]

Раскроем скобки: \[ 900 = D^2 + 12D + 36 + D^2 \] \[ 900 = 2D^2 + 12D + 36 \]

Перенесем все в левую часть: \[ 2D^2 + 12D + 36 - 900 = 0 \] \[ 2D^2 + 12D - 864 = 0 \]

Разделим на 2: \[ D^2 + 6D - 432 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратичного уравнения

Квадратичное уравнение: \[ D^2 + 6D - 432 = 0 \]

Рассчитаем дискриминант: \[ \Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times (-432) = 36 + 1728 = 1764 \]

Найдем корни: \[ D = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2} \]

Выясним \(\sqrt{1764}\): \[ \sqrt{1764} = 42 \]

Значит: \[ D = \frac{-6 \pm 42}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle D = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
2. \(\displaystyle D = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24\) (отрицательная длина диагонали — не подходит)

Поэтому: \[ d_2 = D = 18\, \text{см} \] и \[ d_1 = D + 6 = 24\, \text{см} \]

Шаг 5: Нахождение площади

Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]

Подставляем значения: \[ S = \frac{24 \times 18}{2} = \frac{432}{2} = 216\, \text{см}^2 \]

Итог:

Площадь ромба равна \(\boxed{216\, \text{см}^2}\).

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим задачам — обращайтесь!