Давайте решим уравнение:
[
\log_{0,2}(x - 4) = -1
]
Шаг 1: Понимание логарифма
Логарифм (\log_a b = c) означает, что «а в степени с даёт b», то есть:
[
a^{c} = b
]
В нашем случае:
[
a = 0,2 \qquad c = -1 \qquad b = x - 4
]
Следовательно:
[
0,2^{-1} = x - 4
]
Шаг 2: Вычисление степени
Обратим внимание, что (0,2 = \frac{1}{5}). Значит:
[
0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5
]
Это происходит потому, что:
[
\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5
]
Шаг 3: Решение уравнения
Теперь уравнение принимает вид:
[
x - 4 = 5
]
Отсюда:
[
x = 5 + 4 = 9
]
Шаг 4: Проверка
Проверим, что это решение подходит. Подставим в исходное уравнение:
[
\log_{0,2}(9 - 4) = \log_{0,2}(5)
]
Используя преобразование логарифма в показательное уравнение:
[
0,2^{\text{равно}} \quad \text{что?}
]
Или, точнее, (\log_{a} b = c \Rightarrow b = a^{c}), что уже известно. В нашем случае:
[
\log_{0,2}(5) = -1
]
Проверимся, действительно ли:
[
0,2^{-1} = 5
]
как мы уже вычислили, это верно, значит решение подходит.
Ответ:
[
\boxed{x = 9}
]
