Давайте пошагово разберём задачу и найдём период полураспада вещества.
Дано:
- Масса изотопа m = 9 мг = 9 × 10^(-3) г
- Молярная масса M = 61 г/моль
- Теплоёмкость калориметра C = 92 Дж/К
- Энергия, выделяемая при распаде одного ядра, q = 5 × 10^(-19) Дж
- Время t = 46 минут = 46 × 60 = 2760 секунд
- Рост температуры ΔT = 0,05 К
- Постоянная Авогадро N_A = 6 × 10^23 моль^(-1)
Шаг 1: Найдём число ядер в начальном количестве вещества
Рассчитаем количество вещества в моль:
[
n = \frac{m}{M} = \frac{9 \times 10^{-3} \text{ г}}{61 \text{ г/моль}} \approx 1.475 \times 10^{-4} \text{ моль}
]
Общее число ядер (N):
[
N_{ядр} = n \times N_A = 1.475 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{23} \approx 8.85 \times 10^{19}
]
Шаг 2: Определим количество выделившейся энергии (Q)
Энергия, выделенная за время t, связана с ростом температуры и теплоёмкостью:
[
Q = C \times \Delta T = 92 \text{ Дж/К} \times 0.05 \text{ К} = 4.6 \text{ Дж}
]
Шаг 3: Определим количество ядер, распавшихся за время t
Каждое распадшееся ядро выделяет энергию q. Тогда:
[
\text{Количество распавшихся ядер} = N_{расп} = \frac{Q}{q}
]
[
N_{расп} = \frac{4.6}{5 \times 10^{-19}} = 9.2 \times 10^{18}
]
Шаг 4: Определим, сколько ядер осталось к началу (N_нач)
Количество ядер в начале — это все ядра, и распавшиеся — это распавшиеся за время t:
[
N_t = N_{нач} - N_{расп}
]
Но нам важно найти, сколько ядер осталось после t, чтобы установить, сколько прошло времени с момента начала распада.
Так как распадается часть ядер, и за время t их осталось:
[
N(t) = N_{нач} \times e^{-\lambda t}
]
где (\lambda) — постоянная распада, которую нужно найти.
Шаг 5: Определим сколько ядер осталось после времени t
За время t распалось (N_{расп}) ядер, поэтому:
[
N(t) = N_{нач} - N_{расп} = 8.85 \times 10^{19} - 9.2 \times 10^{18} \approx 7.93 \times 10^{19}
]
Также, из закона радиоактивного распада:
[
N(t) = N_{нач} e^{-\lambda t}
]
Обозначим:
[
N_{нач} = 8.85 \times 10^{19}
]
[
N(t) = 7.93 \times 10^{19}
]
Тогда:
[
\frac{N(t)}{N_{нач}} = e^{-\lambda t}
]
[
\frac{7.93 \times 10^{19}}{8.85 \times 10^{19}} \approx 0.896
]
[
e^{-\lambda t} = 0.896
]
[
-\lambda t = \ln(0.896) \approx -0.110
]
Теперь найдём (\lambda):
[
\lambda = \frac{0.110}{t} = \frac{0.110}{2760 \text{ с}} \approx 3.99 \times 10^{-5} \text{ с}^{-1}
]
Шаг 6: Найдём период полураспада (T_{1/2})
Период полураспада связан с (\lambda) через формулу:
[
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}
]
[
T_{1/2} = \frac{0.693}{3.99 \times 10^{-5}} \approx 17358 \text{ с}
]
Переведём в часы:
[
T_{1/2} \approx \frac{17358}{3600} \approx 4.82 \text{ часа}
]
Ответ:
Период полураспада вещества около 17400 секунд, или примерно 4.8 часа.
Округляя до целых, получим: 17400 секунд.
