9 мг изотопа некоторого вещества с молярной массой 61 г/моль поместил в калориметр с теплоёмкостью 92 Дж/К. Известно , что энергия , выделимая во время распада одного ядра этого…

Давайте пошагово разберём задачу и найдём период полураспада вещества.

Дано:

• Масса изотопа m = 9 мг = 9 × 10^(-3) г
• Молярная масса M = 61 г/моль
• Теплоёмкость калориметра C = 92 Дж/К
• Энергия, выделяемая при распаде одного ядра, q = 5 × 10^(-19) Дж
• Время t = 46 минут = 46 × 60 = 2760 секунд
• Рост температуры ΔT = 0,05 К
• Постоянная Авогадро N_A = 6 × 10^23 моль^(-1)

Шаг 1: Найдём число ядер в начальном количестве вещества

1. Рассчитаем количество вещества в моль: \[ n = \frac{m}{M} = \frac{9 \times 10^{-3} \text{ г}}{61 \text{ г/моль}} \approx 1.475 \times 10^{-4} \text{ моль} \]

2. Общее число ядер (N): \[ N_{ядр} = n \times N_A = 1.475 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{23} \approx 8.85 \times 10^{19} \]

Шаг 2: Определим количество выделившейся энергии (Q)

Энергия, выделенная за время t, связана с ростом температуры и теплоёмкостью: \[ Q = C \times \Delta T = 92 \text{ Дж/К} \times 0.05 \text{ К} = 4.6 \text{ Дж} \]

Шаг 3: Определим количество ядер, распавшихся за время t

Каждое распадшееся ядро выделяет энергию q. Тогда: \[ \text{Количество распавшихся ядер} = N_{расп} = \frac{Q}{q} \] \[ N_{расп} = \frac{4.6}{5 \times 10^{-19}} = 9.2 \times 10^{18} \]

Шаг 4: Определим, сколько ядер осталось к началу (N_нач)

Количество ядер в начале — это все ядра, и распавшиеся — это распавшиеся за время t:

\[ N_t = N_{нач} - N_{расп} \]

Но нам важно найти, сколько ядер осталось после t, чтобы установить, сколько прошло времени с момента начала распада.

Так как распадается часть ядер, и за время t их осталось:

\[ N(t) = N_{нач} \times e^{-\lambda t} \]

где \(\lambda\) — постоянная распада, которую нужно найти.

Шаг 5: Определим сколько ядер осталось после времени t

За время t распалось \(N_{расп}\) ядер, поэтому: \[ N(t) = N_{нач} - N_{расп} = 8.85 \times 10^{19} - 9.2 \times 10^{18} \approx 7.93 \times 10^{19} \]

Также, из закона радиоактивного распада: \[ N(t) = N_{нач} e^{-\lambda t} \]

Обозначим: \[ N_{нач} = 8.85 \times 10^{19} \] \[ N(t) = 7.93 \times 10^{19} \]

Тогда: \[ \frac{N(t)}{N_{нач}} = e^{-\lambda t} \] \[ \frac{7.93 \times 10^{19}}{8.85 \times 10^{19}} \approx 0.896 \] \[ e^{-\lambda t} = 0.896 \] \[ -\lambda t = \ln(0.896) \approx -0.110 \]

Теперь найдём \(\lambda\): \[ \lambda = \frac{0.110}{t} = \frac{0.110}{2760 \text{ с}} \approx 3.99 \times 10^{-5} \text{ с}^{-1} \]

Шаг 6: Найдём период полураспада \(T_{1/2}\)

Период полураспада связан с \(\lambda\) через формулу: \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \] \[ T_{1/2} = \frac{0.693}{3.99 \times 10^{-5}} \approx 17358 \text{ с} \]

Переведём в часы: \[ T_{1/2} \approx \frac{17358}{3600} \approx 4.82 \text{ часа} \]

Ответ:

Период полураспада вещества около 17400 секунд, или примерно 4.8 часа.

Округляя до целых, получим: 17400 секунд.