Из вершины B квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведён отрезок BK, равный 16. Из точки K опущен перпендикуляр на сторону CD. Этот перпендикуляр образует с плоскостью…

Рассмотрим задачу и введем необходимые обозначения.

Обозначим сторону квадрата \( ABCD \) как \( a \).

1. Вершина \( B \) расположена в точке \( B = (a, 0, 0) \), если принять координаты так, что:
   • \( A = (0,0,0) \),
   • \( B = (a,0,0) \),
   • \( C = (a,a,0) \),
   • \( D = (0,a,0) \).

Плоскость квадрата — это \( z=0 \).

2. Высота вершины \( B \) — это точка \( B' \), расположенная по вертикальной оси \( z \), над точкой \( B \):

   \[ B' = (a, 0, h), \] где \( h \) — высота, которую нужно найти.

3. Вершина \( B' \) (или \( K \) в условии) находится на высоте \( h \) над \( B \). По условию, \( BK \perp плоскости квадрата \) и \( BK = 16 \). Поскольку \( B \) и \( K \) лежат по вертикали, то:

\[ BK = h = 16, \]

и

\[ K = (a, 0, 16). \]

4. Из точки \( K \) опущен перпендикуляр на сторону \( CD \), которая лежит в плоскости \( z=0 \).

Сторона \( CD \) — это отрезок от \( C=(a,a,0) \) до \( D=(0,a,0) \).

Линия \( CD \) параллельна оси \( x \), а сама она — в уровне \( y=a \). Значит, уравнение стороны:

\[ \text{линия } CD: y = a, \quad 0 \leq x \leq a. \]

5. Перпендикуляр из \( K \) к \( CD \) — это отрезок, проведённый из \( K = (a,0,16) \) перпендикулярно линии \( y=a \).

Поскольку эта напрямую вертикально в сторону \( y=a \), минимальная точка на \( CD \), к которой опущен перпендикуляр будет иметь координаты

\[ T = (x_c, a, 0), \]

где

\[ x_c = \text{проекционный компромисс} — поскольку \( K \) имеет координаты \( (a,0,16) \), а линия \( CD \) — это множество точек с \( y=a \), то, перпендикулярный отрезок из \( (a,0,16) \) на линию \( y=a \), и он является вертикальной линией (так как \( y \) у \( K \) и у \( CD \)). Поскольку \( y=0 \) у точки \( K \), а \( y=a \) у \( CD \), то точка перпендикуляра — это: \[ T = (a, a, 0). \]

То есть, перпендикуляр из \( K \) опущен на точку \( T = (a, a, 0) \).

6. Согласно условию, угол между этим перпендикуляром и плоскостью квадрата равен 60°. А так как перпендикуляр \( KT \) — это вертикальный отрезок (по оси \( z \)), то:

\[ \text{угол между перпендикуляром } KT \text{ и плоскостью } ABCD: \]

Обозначим за \( \theta = 60^\circ \).

Значит, угол между направлением перпендикуляра (который вертикальный) и плоскостью \( ABCD \) равен \( 60^\circ \), следовательно, угол между вектором \( KT \) (вертикальным) и плоскостью — это угол между вертикальным вектором и плоскостью.

Но поскольку \( KT \) — вертикальный, то его угол с плоскостью равен \( 90^\circ - \alpha \), где \( \alpha \) — это угол между перпендикулярным вектором и нормалью плоскости квадрата.

На самом деле, по условию, сказано: "Этот перпендикуляр образует с плоскостью квадрата угол 60°", что означает, что угол между вектором \( KT \) и плоскостью равен 60°, или, что то же самое, угол между этим вектором и нормалью плоскости равен \( 30^\circ \).

Поясним:

• Вектор \( KT \) вертикальный (по \( z \)),
• Нормаль к плоскости \( ABCD \) — это тоже вертикальный (по \( z \)), и угол между ними — либо 0°, либо 180° (если вертикальны), — вообще, вероятно, речь о другом.

Будем считать, что "образует с плоскостью угол 60°" — это угол между перпендикуляром \( KT \) и проекцией этого перпендикуляра на плоскость \( ABCD \). Тогда

\[ \cos 60^\circ = \frac{\text{длина проекции } KT \text{ на } (x,y) }{|KT|}, \]

но \( KT \) — вертикальный, так что его проекция на \( (x,y) \) равна нулю, и тут возникнет противоречие.

Логика по условию:

Наиболее пристойное толкование: линия \( KT \) — это перпендикуляр из точки \( K \) к линии \( CD \), и она образует с плоскостью \( ABCD \) угол 60°, т.е., вектор \( KT \), направленный из \( K \) в \( T \), образует с плоскостью угол 60°, то есть, угол между вектором \( \vec{KT} \) и нормалью к плоскости равен 30°.

Но \( KT \) — вертикаль, и окружение — это линейный случай.

Поскольку \( \vec{KT} \) — вертикальный вектор:

\[ \vec{KT} = (x_T - x_K, y_T - y_K, 0 - 16). \]

Однако, мы ранее нашли точку \( T \):

\[ T = (a, a, 0), \] и исходные координаты \( K = (a, 0, 16) \), тогда

\[ \vec{KT} = (a - a, a - 0, 0 - 16) = (0, a, -16). \]

Длина \( |\vec{KT}| \):

\[ |\vec{KT}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 16^2} = \sqrt{a^2 + 256}. \]

Нормаль к плоскости — \(\vec{n} = (0,0,1)\).

Угол между \(\vec{KT}\) и \( \vec{n} \):

\[ \cos \theta = \frac{\vec{KT} \cdot \vec{n}}{|\vec{KT}||\vec{n}|} = \frac{-16}{\sqrt{a^2 + 256}}. \]

По условию, этот угол равен \( 60^\circ \). Поскольку двоичный скалярный произведение отрицательное, и угол между ними острый, то:

\[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{16}{\sqrt{a^2 + 256}}}, \]

заменяя знак:

\[ \frac{16}{\sqrt{a^2 + 256}} = \frac{1}{2}, \]

откуда:

\[ 2 \times 16 = \sqrt{a^2 + 256} \Rightarrow 32 = \sqrt{a^2 + 256}, \]

возводим в квадрат:

\[ 1024 = a^2 + 256, \]

\[ a^2 = 1024 - 256 = 768, \]

следовательно,

\[ a = \sqrt{768} = \sqrt{256 \times 3} = 16 \sqrt{3}. \]

7. ИТОГ:

Площадь квадрата \( ABCD \):

\[ S = a^2 = 768. \]

Ответ:

\[ \boxed{768} \]

Площадь квадрата ABCD равна 768.