Давайте подробно разберём задачу.
Дано:
- Масса вещества ( m = 9,мг = 9 \times 10^{-3},г )
- Молекулярная масса вещества ( M = 60,г/моль )
- Теплоёмкость калориметра ( C = 96,Дж/К )
- Энергия, выделяемая при распаде одного ядра: ( q = 3 \times 10^{-19},Дж )
- Время: ( t = 43,мин = 43 \times 60 = 2580,秒 )
- Повышение температуры: ( \Delta T = 0,09,К )
Что нужно найти: период полураспада вещества ( T_{1/2} ).
Шаг 1: Определим количество вещества в молях
Масса вещества ( m = 9 \times 10^{-3},г )
Количество молей:
[
n = \frac{m}{M} = \frac{9 \times 10^{-3}}{60} = 1.5 \times 10^{-4},моль
]
Количество ядер (количество молекул / атомов):
[
N_{мол} = n \times N_A
]
где ( N_A = 6 \times 10^{23},моль^{-1} )
Общее число ядер:
[
N_{ядер} = 1.5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{23} = 9 \times 10^{19}
]
Шаг 2: Определим общее количество распавшихся ядер за время ( t )
Масса вещества исчезает за счет распадов, и мы предполагаем, что вся теплота выделяется при распаде ядер.
Общее количество энергии, выделенной за ( t ):
[
Q = C \times \Delta T = 96,Дж/К \times 0,09,К = 8.64,Дж
]
Шаг 3: Определим число ядер, распавшихся за время ( t )
Общий распавшийся заряд ядер ( N_{рсп} ):
[
N_{рсп} = \frac{Q}{q}
]
где ( q = 3 \times 10^{-19},Дж )
Подставим:
[
N_{рсп} = \frac{8.64}{3 \times 10^{-19}} \approx 2.88 \times 10^{19}
]
То есть за 43 минуты распалось примерно ( 2.88 \times 10^{19} ) ядер.
Шаг 4: Построение модели распада
Распад ядер — выпадение радиоактивного процесса, описываемое уравнением:
[
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
]
где:
- ( N(t) ) — оставшееся число ядер в момент времени ( t ),
- ( N_0 ) — начальное число ядер,
- ( \lambda ) — постоянная распада.
Количество распавшихся ядер за время ( t ):
[
N_{расп} = N_0 - N(t) = N_0 (1 - e^{-\lambda t})
]
Мы знаем ( N_0 = 9 \times 10^{19} ), и ( N_{расп} \approx 2.88 \times 10^{19} ).
Подставим:
[
2.88 \times 10^{19} = 9 \times 10^{19} (1 - e^{-\lambda t})
]
[
\frac{2.88 \times 10^{19}}{9 \times 10^{19}} = 1 - e^{-\lambda t}
]
[
0.32 = 1 - e^{-\lambda t}
]
[
e^{-\lambda t} = 1 - 0.32 = 0.68
]
Теперь выразим ( \lambda ):
[
-\lambda t = \ln(0.68)
]
[
\lambda = - \frac{\ln(0.68)}{t}
]
Подставим ( t = 2580,с ):
[
\ln(0.68) \approx -0.385
]
[
\lambda = \frac{0.385}{2580} \approx 1.49 \times 10^{-4},с^{-1}
]
Шаг 5: Расчёт периода полураспада ( T_{1/2} )
Период полураспада связан с постоянной распада:
[
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}
]
Подставим:
[
T_{1/2} = \frac{0.693}{1.49 \times 10^{-4}} \approx 4650,с
]
Переведем в часы или минуты, чтобы было удобнее:
[
T_{1/2} \approx 4650,с \approx \frac{4650}{60} \approx 77.5,минут
]
Ответ:
[
\boxed{
T_{1/2} \approx \textbf{77 минут}
}
]
Заключение: Период полураспада вещества примерно 77 минут.
