Решите уравнение sin 2x = 2 cos? x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (-п/2;3п/2)
Давайте подробно решим уравнение:
\[\sin 2x = 2 \cos^2 x\]
Шаг 1: Используем формулы тригонометрии
Известно, что:
\[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\]
Подставим это в уравнение:
\[2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x\]
Шаг 2: Упростим уравнение
Разделим обе части на 2 (при условии, что делитель не равен нулю, что мы проверим позднее):
\[\sin x \cos x = \cos^2 x\]
Шаг 3: Перевод уравнения в более удобную форму
Запишем уравнение как:
\[\sin x \cos x - \cos^2 x = 0\]
Факторизуем по \(\cos x\):
\[\cos x (\sin x - \cos x) = 0\]
Теперь у нас есть произведение, равное нулю, значит одно из выражений равно нулю.
Шаг 4: Решение полученных уравнений
1. \(\cos x = 0\)
Значение косинуса равно нулю, когда:
\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}\]
2. \(\sin x - \cos x = 0\)
Перенесем:
\[\sin x = \cos x\]
Это равносильно:
\[\tan x = 1\]
Решения:
\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}\]
Шаг 5: Найти корни на отрезке \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\)
Теперь определим, какие из полученных решений попадают в наш интервал.
Для \(\cos x = 0\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
Проверим значения для различных k:
\(\text{k} = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}\) — входит в интервал \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\) (так как \(\frac{\pi}{2}\) — это граница, и по условию отрезка включается только \(> - \frac{\pi}{2}\)), значит \(x = \frac{\pi}{2}\) — не входит, потому что граница не включена.
\(\text{k} = -1\): \(x = \frac{\pi}{2} - \pi = - \frac{\pi}{2}\) — тоже граница, исключаем.
\(\text{k} = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\) — граница, исключаем.
Следовательно, корни, связанные с \(\cos x=0\), не попадают внутри интервала.
Для \(\tan x = 1\):
\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \]
Проверим \(k\):
\(k=0\): \(x = \frac{\pi}{4}\), входит в интервал \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\)?
Проверка: \(-\frac{\pi}{2} \approx -1.57\), а \(\frac{\pi}{4} \approx 0.785\), значит да — входит.\(k=1\): \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\)
\(\frac{5\pi}{4} \approx 3.927\), что больше, чем \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\), и меньшинство \(\frac{3\pi}{2}\), так что входит в интервал.\(k=-1\): \(x= \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = - \frac{3\pi}{4}\)
\(- \frac{3\pi}{4} \approx -2.356\). Поскольку \(- \frac{\pi}{2} \approx -1.57\), и это число меньше, то \(- \frac{3\pi}{4}\) не входит в интервал (так как граница не включена, это значение исключается).
ИТОГ:
Корни уравнения на \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\) — это:
\[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} \]
Ответ:
\[
\boxed{
x = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5\pi}{4}
}
\]
