Решите уравнение sin 2x = 2 cos? x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (-п/2;3п/2)

Давайте подробно решим уравнение: \[\sin 2x = 2 \cos^2 x\] ### Шаг 1: Используем формулы тригонометрии Известно, что: \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\] Подставим это в уравнение: \[2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x\] ### Шаг 2: Упростим уравнение Разделим обе части на 2 (при условии, что делитель не равен нулю, что мы проверим позднее): \[\sin x \cos x = \cos^2 x\] ### Шаг 3: Перевод уравнения в более удобную форму Запишем уравнение как: \[\sin x \cos x - \cos^2 x = 0\] Факторизуем по \(\cos x\): \[\cos x (\sin x - \cos x) = 0\] Теперь у нас есть произведение, равное нулю, значит одно из выражений равно нулю. ### Шаг 4: Решение полученных уравнений #### 1. \(\cos x = 0\) Значение косинуса равно нулю, когда: \[x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}\] #### 2. \(\sin x - \cos x = 0\) Перенесем: \[\sin x = \cos x\] Это равносильно: \[\tan x = 1\] Решения: \[x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}\] ### Шаг 5: Найти корни на отрезке \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\) Теперь определим, какие из полученных решений попадают в наш интервал. --- #### Для \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Проверим значения для различных k: - \(\text{k} = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}\) — входит в интервал \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\) (так как \(\frac{\pi}{2}\) — это граница, и по условию отрезка включается только \(> - \frac{\pi}{2}\)), значит \(x = \frac{\pi}{2}\) — не входит, потому что граница не включена. - \(\text{k} = -1\): \(x = \frac{\pi}{2} - \pi = - \frac{\pi}{2}\) — тоже граница, исключаем. - \(\text{k} = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\) — граница, исключаем. Следовательно, **корни, связанные с \(\cos x=0\), не попадают внутри интервала**. --- #### Для \(\tan x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Проверим \(k\): - \(k=0\): \(x = \frac{\pi}{4}\), входит в интервал \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\)? Проверка: \(-\frac{\pi}{2} \approx -1.57\), а \(\frac{\pi}{4} \approx 0.785\), значит да — входит. - \(k=1\): \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{4} \approx 3.927\), что больше, чем \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\), и меньшинство \(\frac{3\pi}{2}\), так что входит в интервал. - \(k=-1\): \(x= \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = - \frac{3\pi}{4}\) \(- \frac{3\pi}{4} \approx -2.356\). Поскольку \(- \frac{\pi}{2} \approx -1.57\), и это число меньше, то \(- \frac{3\pi}{4}\) не входит в интервал (так как граница не включена, это значение исключается). --- ### **ИТОГ:** Корни уравнения на \((- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})\) — это: \[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} \] **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5\pi}{4} } \]