На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол KOL равен 160°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в…

Давайте подробно решим задачу и объясним все шаги.

Дано:

• Окружность с центром \( O \)
• Точки \( K \) и \( L \) на окружности
• \(\angle KOL = 160^\circ\)
• \( LM \) — касательная к окружности в точке \( L \)
• \(\angle KLM\) — острый угол (то есть меньше 90°)
• Требуется найти \(\angle KLM\)

Шаг 1: Анализ углов и позиций точек

• Точки \( K \) и \( L \) лежат на окружности, а \( O \) — центр.
• \(\angle KOL = 160^\circ\), это центральный угол, опирающийся на дугу \( KL \).

Важно:
Центральный угол равен дуге, которую он опирается, то есть дуга \( KL \) измеряется в 160°.

Шаг 2: Связь между дугой и вписанным углом

• Вписанный угол, опирающийся на дугу \( KL \), равен половине этого дуги.
• Так как дуга \( KL \) равна 160°, то вписанный угол, опирающийся на эту же дугу, равен:

\[ \angle \text{вписанный} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]

Шаг 3: Расположение точки \( L \) и касательной \( LM \)

• \( LM \) — касательная к окружности в точке \( L \).
• Поскольку \( LM \) — касательная в точке \( L \), то по свойству касательной:

\[ \angle \text{между радиусом } OL \text{ и касательной } LM = 90^\circ \]

То есть:

\[ \angle OLM = 90^\circ \]

Шаг 4: Анализ треугольника и искомого угла

Нам нужно найти \( \angle KLM \), угол образованный точками \( K \), \( L \) и \( M \).

Обратите внимание:

• В треугольнике \( KLM \), угол \( KLM \) — это внешний угол, связанный с вписанными и центральными углами.
• Так как \( L \) — точка касания, а \( K \) — другая точка на окружности, то:

\[ \angle KLM = \text{угол между касательной \( LM \) и хордой \( LK \)} \]

Но важное тут — что касательная в точке \( L \) образует с радиусом \( OL \) прямой угол, а также окружность связана с делением дуги.

Шаг 5: Использование свойства касательной и дуги

• Угол между касательной \( LM \) и хордой \( LK \) равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу \( LK \) в точке \( K \).

По свойству:

\[ \angle KLM = \text{вписанный угол, опирающийся на дугу } LK \]

Обратите внимание:

• Дуга \( LK \) составляет \( 160^\circ \) (как и центральный угол \( \angle KOL \))
• Вписанный угол, опирающийся на дугу \( LK \), равен половине этой дуги:

\[ \angle KLM = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ} \]

Краткое резюме:
\(\angle KLM = 80^\circ\).

Если есть дополнительные уточнения или нужно более подробно — скажите!