На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол KOL равен 160°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах

Давайте подробно решим задачу и объясним все шаги. **Дано:** - Окружность с центром \( O \) - Точки \( K \) и \( L \) на окружности - \(\angle KOL = 160^\circ\) - \( LM \) — касательная к окружности в точке \( L \) - \(\angle KLM\) — острый угол (то есть меньше 90°) - Требуется найти \(\angle KLM\) --- ### Шаг 1: Анализ углов и позиций точек - Точки \( K \) и \( L \) лежат на окружности, а \( O \) — центр. - \(\angle KOL = 160^\circ\), это центральный угол, опирающийся на дугу \( KL \). **Важно:** Центральный угол равен дуге, которую он опирается, то есть дуга \( KL \) измеряется в 160°. --- ### Шаг 2: Связь между дугой и вписанным углом - Вписанный угол, опирающийся на дугу \( KL \), равен половине этого дуги. - Так как дуга \( KL \) равна 160°, то вписанный угол, опирающийся на эту же дугу, равен: \[ \angle \text{вписанный} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \] --- ### Шаг 3: Расположение точки \( L \) и касательной \( LM \) - \( LM \) — касательная к окружности в точке \( L \). - Поскольку \( LM \) — касательная в точке \( L \), то по свойству касательной: \[ \angle \text{между радиусом } OL \text{ и касательной } LM = 90^\circ \] То есть: \[ \angle OLM = 90^\circ \] --- ### Шаг 4: Анализ треугольника и искомого угла Нам нужно найти \( \angle KLM \), угол образованный точками \( K \), \( L \) и \( M \). Обратите внимание: - В треугольнике \( KLM \), угол \( KLM \) — это внешний угол, связанный с вписанными и центральными углами. - Так как \( L \) — точка касания, а \( K \) — другая точка на окружности, то: \[ \angle KLM = \text{угол между касательной \( LM \) и хордой \( LK \)} \] Но важное тут — что касательная в точке \( L \) образует с радиусом \( OL \) прямой угол, а также окружность связана с делением дуги. --- ### Шаг 5: Использование свойства касательной и дуги - Угол между касательной \( LM \) и хордой \( LK \) равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу \( LK \) в точке \( K \). По свойству: \[ \angle KLM = \text{вписанный угол, опирающийся на дугу } LK \] Обратите внимание: - Дуга \( LK \) составляет \( 160^\circ \) (как и центральный угол \( \angle KOL \)) - Вписанный угол, опирающийся на дугу \( LK \), равен половине этой дуги: \[ \angle KLM = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{80^\circ} \] **Краткое резюме:** \(\angle KLM = 80^\circ\). Если есть дополнительные уточнения или нужно более подробно — скажите!