\frac{(5^3)^{16} \cdot 5^{-54}}{5^{-4}}

Давайте вместе решим выражение:

\[ \frac{(5^3)^{16} \cdot 5^{-54}}{5^{-4}} \]

Шаг 1: Обработать \((5^3)^{16}\).

По свойствам степеней: \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\).

Значит:

\[ (5^3)^{16} = 5^{3 \times 16} = 5^{48} \]

Шаг 2: Записать исходное выражение с этим результатом:

\[ \frac{5^{48} \cdot 5^{-54}}{5^{-4}} \]

Шаг 3: Объединить умножение в числителе: \(5^{48} \cdot 5^{-54}\).

Используем свойство: \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\).

\[ 5^{48 + (-54)} = 5^{48 - 54} = 5^{-6} \]

Теперь выражение стало:

\[ \frac{5^{-6}}{5^{-4}} \]

Шаг 4: Деление степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\).

Следовательно:

\[ 5^{-6 - (-4)} = 5^{-6 + 4} = 5^{-2} \]

Ответ:

\[ \boxed{5^{-2}} \]

или, в виде дроби:

\[ \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Если есть дополнительные вопросы, я с радостью помогу!