Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71° и 145° найти угол б этого…

Дано четырёхугольник \( ABCD \), стороны которого стягивают дуги описанной окружности с градусными величинами:

• \( AB \) — дуга \( 95^\circ \),
• \( BC \) — дуга \( 49^\circ \),
• \( CD \) — дуга \( 71^\circ \),
• \( DA \) — дуга \( 145^\circ \).

Задача — найти угол \( \angle B \).

Шаг 1: Обозначения

Обозначим углы при вершинах:

\[ \angle A = \alpha, \quad \angle B = \beta, \quad \angle C = \gamma, \quad \angle D = \delta. \]

Нашей целью является найти \( \beta \).

Шаг 2: Связь дуг и углов при вершинах

Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \):

\[ \alpha + \gamma = 180^\circ, \quad \beta + \delta = 180^\circ. \]

Дуга, стягиваемая стороной, связана с углами следующим образом:

• Угол при вершине равен половине дуги, которая не содержит эту вершину, то есть:

\[ \angle A = \frac{1}{2} \text{дуги, не содержащей } A, \\ \angle B = \frac{1}{2} \text{дуги, не содержащей } B, \\ \ldots \]

Но важное уточнение: каждая сторона — это хорда, и дуга, противоположная ей, делит окружность.

Шаг 3: Анализ дуг

Дуга, соответствующая стороне, — это дуга, которая "не входит" в угол при вершине. Более конкретно:

• Сторона \( AB \) — дуга, противоположная вершина \( C \), т.е., она составляет дугу \( \widehat{CD} + \widehat{DA} \), потому что последовательные дуги идут вокруг окружности. Но более удобно рассматривать:

Значение дуги, накрываемой стороной, — это дуга, "противоположная" этой стороны.

Шаг 4: Распределение дуг

Обозначим дуги между вершинами:

\[ \widehat{AB} = D_{AB} = 95^\circ, \\ \widehat{BC} = D_{BC} = 49^\circ, \\ \widehat{CD} = D_{CD} = 71^\circ, \\ \widehat{DA} = D_{DA} = 145^\circ. \]

Общая дуга окружности — 360°, и сумма всех дуг:

\[ D_{AB} + D_{BC} + D_{CD} + D_{DA} = 95 + 49 + 71 + 145 = 360^\circ. \]

Это соответствует полному обороту окружности.

Шаг 5: Связь между дугами и углами

Угол при вершине — половина дуги, которая не включает эту вершину. Для вписанного четырёхугольника:

\[ \angle A = \frac{1}{2} (\text{дуга } \widehat{BC} + \widehat{BD}), \]

но проще всего — установить связь через дуги, противоположные вершинам.

Однако в этой задаче можно использовать классическую теорему о вписанном четырехугольнике:

\[ \text{Сумма противоположных углов} = 180^\circ. \]

Кроме того, углы вписанных углов, опирающихся на сторону, равны половина дуги, противолежащей этой стороны.

Шаг 6: Определение дуги, соответствующей углу B

• Угол \( \angle B \) вписан и опирается на дугу, не содержащую вершину \( B \), то есть на дугу, противоположную стороне \( AC \).

• Дугу, не содержащую \( B \), можно найти, воспользовавшись известными дугами.

Дуга, противоположная вершине \( B \), — это дуга, не содержащая \( B \); это дуга, образованная сторонами \( CD \) и \( DA \). Среди данных дуг это дуга \( D_{CD} + D_{DA} = 71^\circ + 145^\circ = 216^\circ \). Однако окружность — 360°, делим на дугу, не содержащую \( B \):

\[ D_{remaining} = 360^\circ - D_{\text{дуга, содержащая } B}. \]

Но более точный подход: углы при вписанных дугах равны половине дуги, и сумма дуг в окружности — 360°.

Шаг 7: Итог — найти \( \angle B \)

Рассмотрим сумму углов:

\[ \angle B = \frac{1}{2} (\text{дуга, соответствующая }\angle B), \]

и эта дуга — это дуга, противоположная \( B \). Опираясь на известных данных:

• Стороны \( AB, BC, CD, DA \) — их дуги даны.

• В классической теории, угол при вершине — это половина дуги, которая не содержит эту вершину.

Поскольку:

\[ \text{Дуга, противолежащая } B = D_{D} + D_{A} = 71^\circ + 145^\circ = 216^\circ, \]

но \( D_{D} \) — дуга \( CD \), а \( D_{A} \) — дуга \( AB \)?

Немного иначе: дуга, противолежащая \( B \), — это дуга, не содержащая \( B \), то есть должна включать дуги \( D_{CD} \) и \( D_{DA} \).

Дуга, содержащая \( B \), — это дуга \( AC \), которая разбита на дуги \( D_{AB} \) и \( D_{BC} \). Тогда:

\[ \text{Дуга, противолежащая } B = 360^\circ - (D_{AB} + D_{BC}) = 360^\circ - (95^\circ + 49^\circ) = 360^\circ - 144^\circ = 216^\circ. \]

Теперь, угол \( \angle B \), вписанный и опирающийся на дугу, противолежащую \( B \), равен половине этой дуги:

\[ \angle B = \frac{1}{2} \times 216^\circ = 108^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{108^\circ} \]

Итог: угол \( \angle B \) равен 108 градусам.