Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71° и 145° найти угол б этого четырехугольника ответ дайте в градусах

Дано четырёхугольник \( ABCD \), стороны которого стягивают дуги описанной окружности с градусными величинами: - \( AB \) — дуга \( 95^\circ \), - \( BC \) — дуга \( 49^\circ \), - \( CD \) — дуга \( 71^\circ \), - \( DA \) — дуга \( 145^\circ \). Задача — найти угол \( \angle B \). **Шаг 1: Обозначения** Обозначим углы при вершинах: \[ \angle A = \alpha, \quad \angle B = \beta, \quad \angle C = \gamma, \quad \angle D = \delta. \] Нашей целью является найти \( \beta \). **Шаг 2: Связь дуг и углов при вершинах** Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \): \[ \alpha + \gamma = 180^\circ, \quad \beta + \delta = 180^\circ. \] Дуга, стягиваемая стороной, связана с углами следующим образом: - Угол при вершине равен половине дуги, которая не содержит эту вершину, то есть: \[ \angle A = \frac{1}{2} \text{дуги, не содержащей } A, \\ \angle B = \frac{1}{2} \text{дуги, не содержащей } B, \\ \ldots \] Но важное уточнение: каждая сторона — это хорда, и дуга, противоположная ей, делит окружность. **Шаг 3: Анализ дуг** Дуга, соответствующая стороне, — это дуга, которая "не входит" в угол при вершине. Более конкретно: - Сторона \( AB \) — дуга, противоположная вершина \( C \), т.е., она составляет дугу \( \widehat{CD} + \widehat{DA} \), потому что последовательные дуги идут вокруг окружности. Но более удобно рассматривать: Значение дуги, накрываемой стороной, — это дуга, "противоположная" этой стороны. **Шаг 4: Распределение дуг** Обозначим дуги между вершинами: \[ \widehat{AB} = D_{AB} = 95^\circ, \\ \widehat{BC} = D_{BC} = 49^\circ, \\ \widehat{CD} = D_{CD} = 71^\circ, \\ \widehat{DA} = D_{DA} = 145^\circ. \] Общая дуга окружности — 360°, и сумма всех дуг: \[ D_{AB} + D_{BC} + D_{CD} + D_{DA} = 95 + 49 + 71 + 145 = 360^\circ. \] Это соответствует полному обороту окружности. **Шаг 5: Связь между дугами и углами** Угол при вершине — половина дуги, которая не включает эту вершину. Для вписанного четырёхугольника: \[ \angle A = \frac{1}{2} (\text{дуга } \widehat{BC} + \widehat{BD}), \] но проще всего — установить связь через дуги, противоположные вершинам. Однако в этой задаче можно использовать классическую теорему о вписанном четырехугольнике: \[ \text{Сумма противоположных углов} = 180^\circ. \] Кроме того, углы вписанных углов, опирающихся на сторону, равны половина дуги, противолежащей этой стороны. **Шаг 6: Определение дуги, соответствующей углу B** - Угол \( \angle B \) вписан и опирается на дугу, не содержащую вершину \( B \), то есть на дугу, противоположную стороне \( AC \). - Дугу, не содержащую \( B \), можно найти, воспользовавшись известными дугами. Дуга, противоположная вершине \( B \), — это дуга, не содержащая \( B \); это дуга, образованная сторонами \( CD \) и \( DA \). Среди данных дуг это дуга \( D_{CD} + D_{DA} = 71^\circ + 145^\circ = 216^\circ \). Однако окружность — 360°, делим на дугу, не содержащую \( B \): \[ D_{remaining} = 360^\circ - D_{\text{дуга, содержащая } B}. \] Но более точный подход: углы при вписанных дугах равны половине дуги, и сумма дуг в окружности — 360°. **Шаг 7: Итог — найти \( \angle B \)** Рассмотрим сумму углов: \[ \angle B = \frac{1}{2} (\text{дуга, соответствующая }\angle B), \] и эта дуга — это дуга, противоположная \( B \). Опираясь на известных данных: - Стороны \( AB, BC, CD, DA \) — их дуги даны. - В классической теории, угол при вершине — это половина дуги, которая не содержит эту вершину. Поскольку: \[ \text{Дуга, противолежащая } B = D_{D} + D_{A} = 71^\circ + 145^\circ = 216^\circ, \] но \( D_{D} \) — дуга \( CD \), а \( D_{A} \) — дуга \( AB \)? Немного иначе: дуга, противолежащая \( B \), — это дуга, не содержащая \( B \), то есть должна включать дуги \( D_{CD} \) и \( D_{DA} \). Дуга, содержащая \( B \), — это дуга \( AC \), которая разбита на дуги \( D_{AB} \) и \( D_{BC} \). Тогда: \[ \text{Дуга, противолежащая } B = 360^\circ - (D_{AB} + D_{BC}) = 360^\circ - (95^\circ + 49^\circ) = 360^\circ - 144^\circ = 216^\circ. \] Теперь, угол \( \angle B \), вписанный и опирающийся на дугу, противолежащую \( B \), равен половине этой дуги: \[ \angle B = \frac{1}{2} \times 216^\circ = 108^\circ. \] **Ответ:** \[ \boxed{108^\circ} \] **Итог:** угол \( \angle B \) равен **108 градусам**.