Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D 1 является квадрат со стороной равной 2 На боковом ребре DD 1 равном 3 выбрана точкаК, которая делит его в отношении 2:1…

Рассмотрим задачу поэтапно:

Дано:

• Основание — квадрат ABCD со стороной 2.
• Высота — \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \), \( DD_1 \), равная 3.
• Точка \( K \) лежит на боковом ребре \( DD_1 \), делит его в отношении 2:1, считая от вершины D.

Задачи: а) найти угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \); б) найти угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \).

---

Шаг 1. Построение и координационная схема

Для удобства выбираем систему координат:

• \( D \) — начало \( O(0,0,0) \),
• \( D_1 \) — (0,0,3), так как высота 3,
• Поскольку основание — квадрат со стороной 2, возьмём:

\[ A(0, 2, 0), \quad B(2, 2, 0), \quad C(2, 0, 0), \quad D(0, 0, 0), \] и вершины верхнего этажа:

\[ A_1(0, 2, 3), \quad B_1(2, 2, 3), \quad C_1(2, 0, 3), \quad D_1(0, 0, 3). \]

---

Шаг 2. Находим точку \( K \)

Ребро \( DD_1 \): от \( D(0,0,0) \) до \( D_1(0,0,3) \).

Точка \( K \) делит его в отношении 2:1, считая от D, т.е.:

\[ K = \frac{2}{2+1} D + \frac{1}{2+1} D_1 = \frac{2}{3} D + \frac{1}{3} D_1, \] подставляем координаты:

\[ K = \left(0, 0, \frac{2}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times 3\right) = (0, 0, 1). \]

---

Шаг 3. Определим нужные точки для задачи

• \( C(2, 0, 0) \),
• \( A_1(0, 2, 3) \),
• \( B_1(2, 2, 3) \),
• \( K(0, 0, 1) \).

---

Шаг 4. А) угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \)

Вектор \( \vec{K C} \):

\[ \vec{K C} = C - K = (2-0, 0-0, 0-1) = (2, 0, -1). \]

Вектор \( \vec{A_1 B_1} \):

\[ \vec{A_1 B_1} = B_1 - A_1 = (2 - 0, 2 - 2, 3 - 3) = (2, 0, 0). \]

Находим угол между векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{K C} \cdot \vec{A_1 B_1}}{|\vec{K C}| \times |\vec{A_1 B_1}|}. \]

Вычисляем скалярное произведение:

\[ \vec{K C} \cdot \vec{A_1 B_1} = 2 \times 2 + 0 \times 0 + (-1) \times 0 = 4. \]

Модуль \( |\vec{K C}| \):

\[ |\vec{K C}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}. \]

Модуль \( |\vec{A_1 B_1}| \):

\[ |\vec{A_1 B_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2. \]

Подставляем в формулу для \( \cos \theta \):

\[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \times 2} = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \theta = \arccos \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43^\circ. } \]

---

Шаг 5. Б) угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \)

1. Находим нормали плоскостей.

Плоскость \( A K C \):

• Точки: \( A(0, 2, 0) \), \( K(0, 0, 1) \), \( C(2, 0, 0) \).

Выбираем два вектора, лежащие в плоскости:

\[ \vec{A K} = K - A = (0 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1), \] \[ \vec{A C} = C - A = (2 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0). \]

Нормаль к плоскости \( \vec{n}_{1} = \vec{A K} \times \vec{A C} \):

\[ \vec{n}_{1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем детерминант:

\[ \mathbf{i}((-2)\times 0 - 1 \times (-2)) = \mathbf{i}(0 + 2) = 2\mathbf{i}, \] \[ -\mathbf{j}(0 \times 0 - 1 \times 2) = -\mathbf{j}(0 - 2) = 2\mathbf{j}, \] \[ \mathbf{k}(0 \times (-2) - (-2) \times 2) = \mathbf{k}(0 + 4) = 4\mathbf{k}. \]

Итак,

\[ \boxed{ \vec{n}_1 = (2, 2, 4). } \]

Можно упростить, разделив на 2:

\[ \vec{n}_1 = (1, 1, 2). \]

Плоскость \( A B C \):

• Точки: \( A(0, 2, 0) \), \( B(2, 2, 0) \), \( C(2, 0, 0) \).

Векторы:

\[ \vec{A B} = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 0) = (2, 0, 0), \] \[ \vec{A C} = (2 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0). \]

Нормаль \( \vec{n}_2 = \vec{A B} \times \vec{A C} \):

\[ \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем:

\[ \mathbf{i}(0 \times 0 - 0 \times (-2)) = 0, \] \[ -\mathbf{j}(2 \times 0 - 0 \times 2) = 0, \] \[ \mathbf{k}(2 \times (-2) - 0 \times 2) = ( -4 - 0 ) = -4. \]

Итак,

\[ \boxed{ \vec{n}_2 = (0, 0, -4), } \] что при делении на \(-4\):

\[ \vec{n}_2 = (0, 0, 1). \]

---

Шаг 6. Находим угол между плоскостями

\[ \cos \phi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}. \]

Вычисляем скалярное произведение:

\[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(0) + (1)(0) + (2)(1) = 2. \]

Модули:

\[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}, \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{0 + 0 + 1^2} = 1. \]

Подставляем:

\[ \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}\times 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \phi = \arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 35.26^\circ. } \]

---

Итоговые ответы:

а) Угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \):

\[ \boxed{ \theta \approx 63.43^\circ. } \]

б) Угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \):

\[ \boxed{ \phi \approx 35.26^\circ. } \]

Если есть вопросы или нужно объяснение подробнее — я готов помочь!