Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D 1 является квадрат со стороной равной 2 На боковом ребре DD 1 равном 3 выбрана точкаК, которая делит его в отношении 2:1 считая от вершины D. Найдите: а) угол между прямыми КС и А 1В1 ; б) угол между плоскостями АКС и АВС.

Рассмотрим задачу поэтапно: **Дано:** - Основание — квадрат ABCD со стороной 2. - Высота — \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \), \( DD_1 \), равная 3. - Точка \( K \) лежит на боковом ребре \( DD_1 \), делит его в отношении 2:1, считая от вершины D. _Задачи:_ а) найти угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \); б) найти угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \). --- ## Шаг 1. Построение и координационная схема Для удобства выбираем систему координат: - \( D \) — начало \( O(0,0,0) \), - \( D_1 \) — (0,0,3), так как высота 3, - Поскольку основание — квадрат со стороной 2, возьмём: \[ A(0, 2, 0), \quad B(2, 2, 0), \quad C(2, 0, 0), \quad D(0, 0, 0), \] и вершины верхнего этажа: \[ A_1(0, 2, 3), \quad B_1(2, 2, 3), \quad C_1(2, 0, 3), \quad D_1(0, 0, 3). \] --- ## Шаг 2. Находим точку \( K \) Ребро \( DD_1 \): от \( D(0,0,0) \) до \( D_1(0,0,3) \). Точка \( K \) делит его в отношении 2:1, считая от D, т.е.: \[ K = \frac{2}{2+1} D + \frac{1}{2+1} D_1 = \frac{2}{3} D + \frac{1}{3} D_1, \] подставляем координаты: \[ K = \left(0, 0, \frac{2}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times 3\right) = (0, 0, 1). \] --- ## Шаг 3. Определим нужные точки для задачи - \( C(2, 0, 0) \), - \( A_1(0, 2, 3) \), - \( B_1(2, 2, 3) \), - \( K(0, 0, 1) \). --- ## Шаг 4. А) угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \) ### Вектор \( \vec{K C} \): \[ \vec{K C} = C - K = (2-0, 0-0, 0-1) = (2, 0, -1). \] ### Вектор \( \vec{A_1 B_1} \): \[ \vec{A_1 B_1} = B_1 - A_1 = (2 - 0, 2 - 2, 3 - 3) = (2, 0, 0). \] ### Находим угол между векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{K C} \cdot \vec{A_1 B_1}}{|\vec{K C}| \times |\vec{A_1 B_1}|}. \] Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{K C} \cdot \vec{A_1 B_1} = 2 \times 2 + 0 \times 0 + (-1) \times 0 = 4. \] Модуль \( |\vec{K C}| \): \[ |\vec{K C}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}. \] Модуль \( |\vec{A_1 B_1}| \): \[ |\vec{A_1 B_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2. \] Подставляем в формулу для \( \cos \theta \): \[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \times 2} = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \] Ответ: \[ \boxed{ \theta = \arccos \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43^\circ. } \] --- ## Шаг 5. Б) угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \) ### 1. Находим нормали плоскостей. **Плоскость \( A K C \):** - Точки: \( A(0, 2, 0) \), \( K(0, 0, 1) \), \( C(2, 0, 0) \). Выбираем два вектора, лежащие в плоскости: \[ \vec{A K} = K - A = (0 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1), \] \[ \vec{A C} = C - A = (2 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0). \] Нормаль к плоскости \( \vec{n}_{1} = \vec{A K} \times \vec{A C} \): \[ \vec{n}_{1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}. \] Вычисляем детерминант: \[ \mathbf{i}((-2)\times 0 - 1 \times (-2)) = \mathbf{i}(0 + 2) = 2\mathbf{i}, \] \[ -\mathbf{j}(0 \times 0 - 1 \times 2) = -\mathbf{j}(0 - 2) = 2\mathbf{j}, \] \[ \mathbf{k}(0 \times (-2) - (-2) \times 2) = \mathbf{k}(0 + 4) = 4\mathbf{k}. \] Итак, \[ \boxed{ \vec{n}_1 = (2, 2, 4). } \] Можно упростить, разделив на 2: \[ \vec{n}_1 = (1, 1, 2). \] **Плоскость \( A B C \):** - Точки: \( A(0, 2, 0) \), \( B(2, 2, 0) \), \( C(2, 0, 0) \). Векторы: \[ \vec{A B} = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 0) = (2, 0, 0), \] \[ \vec{A C} = (2 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0). \] Нормаль \( \vec{n}_2 = \vec{A B} \times \vec{A C} \): \[ \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}. \] Вычисляем: \[ \mathbf{i}(0 \times 0 - 0 \times (-2)) = 0, \] \[ -\mathbf{j}(2 \times 0 - 0 \times 2) = 0, \] \[ \mathbf{k}(2 \times (-2) - 0 \times 2) = ( -4 - 0 ) = -4. \] Итак, \[ \boxed{ \vec{n}_2 = (0, 0, -4), } \] что при делении на \(-4\): \[ \vec{n}_2 = (0, 0, 1). \] --- ## Шаг 6. Находим угол между плоскостями \[ \cos \phi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}. \] Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(0) + (1)(0) + (2)(1) = 2. \] Модули: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}, \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{0 + 0 + 1^2} = 1. \] Подставляем: \[ \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}\times 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \] Ответ: \[ \boxed{ \phi = \arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 35.26^\circ. } \] --- ## Итоговые ответы: ### а) Угол между прямыми \( K C \) и \( A_1 B_1 \): \[ \boxed{ \theta \approx 63.43^\circ. } \] ### б) Угол между плоскостями \( A K C \) и \( A B C \): \[ \boxed{ \phi \approx 35.26^\circ. } \] Если есть вопросы или нужно объяснение подробнее — я готов помочь!