Рассмотри изображённый на рисунке куб
A
B
C
D
A
1
B
1
D
1
C
1
ABCDA
1
B
1
D
1
C
1
с ребром
a
a. Укажи длину вектора
C
A
→
+
A
1
B
1
→
+
D
1
C
→
CA
+
A
1
B
1
+
D
1
C
.
Конечно! Давайте подробно разберём задачу.
**Дано:**
- Куб с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\)
- Размер ребра куба: \(a\)
- Нужно найти длину вектора: \(\vec{CA} + \vec{A_1B_1} + \vec{D_1C}\)
---
### Шаг 1: Вводные данные и положение точек
Допустим, что куб расположен в трёхмерной системе координат:
- Вершина \(A\) — в начале координат: \((0,0,0)\)
- Вершина \(B\) — рядом с \(A\) вдоль оси \(x\): \((a,0,0)\)
- Вершина \(D\) — рядом с \(A\) вдоль оси \(y\): \((0,a,0)\)
- Вершина \(A_1\) — над \(A\) вдоль оси \(z\): \((0,0,a)\)
- Вершина \(B_1\) — над \(B\): \((a,0,a)\)
- Вершина \(C\) — напротив \(A\) по диагонали: \((a,a,0)\)
- Вершина \(C_1\) — над \(C\): \((a,a,a)\)
- Вершина \(D_1\) — над \(D\): \((0,a,a)\)
---
### Шаг 2: Находим координаты точек, элементы векторов
1. **Вектор \(\vec{CA}\):**
- \(C = (a, a, 0)\)
- \(A = (0, 0, 0)\)
\[
\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (0 - a, 0 - a, 0 - 0) = (-a, -a, 0)
\]
2. **Вектор \(\vec{A_1B_1}\):**
- \(A_1 = (0, 0, a)\)
- \(B_1 = (a, 0, a)\)
\[
\vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = (a - 0, 0 - 0, a - a) = (a, 0, 0)
\]
3. **Вектор \(\vec{D_1C}\):**
- \(D_1 = (0, a, a)\)
- \(C = (a, a, 0)\)
\[
\vec{D_1C} = \vec{C} - \vec{D_1} = (a - 0, a - a, 0 - a) = (a, 0, -a)
\]
---
### Шаг 3: Сложение векторов
Теперь найдём сумму:
\[
\vec{V} = \vec{CA} + \vec{A_1B_1} + \vec{D_1C}
\]
Подставляем координаты:
\[
\vec{V} = (-a, -a, 0) + (a, 0, 0) + (a, 0, -a)
\]
Складываем по компонентам:
- \(x\)-компонента:
\[
(-a) + a + a = (-a + a) + a = 0 + a = a
\]
- \(y\)-компонента:
\[
(-a) + 0 + 0 = -a
\]
- \(z\)-компонента:
\[
0 + 0 + (-a) = -a
\]
Итак, итоговый вектор:
\[
\boxed{\vec{V} = (a, -a, -a)}
\]
---
### Шаг 4: Находим длину вектора
Длина вектора \(\vec{V}\):
\[
|\vec{V}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]
---
### **Ответ:**
Длина искомого вектора равна:
\[
\boxed{a \sqrt{3}}
\]
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
