Рассмотри изображённый на рисунке куб A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ D 1 ​ C 1 ​ с ребром a a . Укажи длину вектора C A → + A 1 B 1 → + D 1 C → CA + A 1 ​ B 1 ​ ​ + D 1 ​…

Конечно! Давайте подробно разберём задачу.

Дано:

• Куб с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\)
• Размер ребра куба: \(a\)
• Нужно найти длину вектора: \(\vec{CA} + \vec{A_1B_1} + \vec{D_1C}\)

---

Шаг 1: Вводные данные и положение точек

Допустим, что куб расположен в трёхмерной системе координат:

• Вершина \(A\) — в начале координат: \((0,0,0)\)
• Вершина \(B\) — рядом с \(A\) вдоль оси \(x\): \((a,0,0)\)
• Вершина \(D\) — рядом с \(A\) вдоль оси \(y\): \((0,a,0)\)
• Вершина \(A_1\) — над \(A\) вдоль оси \(z\): \((0,0,a)\)
• Вершина \(B_1\) — над \(B\): \((a,0,a)\)
• Вершина \(C\) — напротив \(A\) по диагонали: \((a,a,0)\)
• Вершина \(C_1\) — над \(C\): \((a,a,a)\)
• Вершина \(D_1\) — над \(D\): \((0,a,a)\)

---

Шаг 2: Находим координаты точек, элементы векторов

1. Вектор \(\vec{CA}\):

• \(C = (a, a, 0)\)
• \(A = (0, 0, 0)\)

\[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (0 - a, 0 - a, 0 - 0) = (-a, -a, 0) \]

2. Вектор \(\vec{A_1B_1}\):

• \(A_1 = (0, 0, a)\)
• \(B_1 = (a, 0, a)\)

\[ \vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = (a - 0, 0 - 0, a - a) = (a, 0, 0) \]

3. Вектор \(\vec{D_1C}\):

• \(D_1 = (0, a, a)\)
• \(C = (a, a, 0)\)

\[ \vec{D_1C} = \vec{C} - \vec{D_1} = (a - 0, a - a, 0 - a) = (a, 0, -a) \]

---

Шаг 3: Сложение векторов

Теперь найдём сумму:

\[ \vec{V} = \vec{CA} + \vec{A_1B_1} + \vec{D_1C} \]

Подставляем координаты:

\[ \vec{V} = (-a, -a, 0) + (a, 0, 0) + (a, 0, -a) \]

Складываем по компонентам:

• \(x\)-компонента:

\[ (-a) + a + a = (-a + a) + a = 0 + a = a \]

• \(y\)-компонента:

\[ (-a) + 0 + 0 = -a \]

• \(z\)-компонента:

\[ 0 + 0 + (-a) = -a \]

Итак, итоговый вектор:

\[ \boxed{\vec{V} = (a, -a, -a)} \]

---

Шаг 4: Находим длину вектора

Длина вектора \(\vec{V}\):

\[ |\vec{V}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]

---

Ответ:

Длина искомого вектора равна:

\[ \boxed{a \sqrt{3}} \]

Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!