A - 8. Повторение. Решение линейных и квадратных неравеиств. № 1. Решите неравенство: a)7x- 2(x+3) < 8 +3x; 3x- 7 9x -1 б) 8 4 6) x2 + 3x - 28 0. № 2. Известно, что 3 < a <7 и 1 <…

Рассмотрим каждое задание по порядку. Я постараюсь дать максимально подробное объяснение, чтобы понять хотя бы исходные принципы решения.

---

№ 1. Решите неравенства:

а) \(7x - 2(x + 3) < 8 + 3x\)

Шаг 1: Раскроем скобки слева:

\[7x - 2x - 6 < 8 + 3x\]

Шаг 2: Объединим подобные члены слева:

\[(7x - 2x) - 6 < 8 + 3x \Rightarrow 5x - 6 < 8 + 3x\]

Шаг 3: Переносим все с \(x\) в левую часть, числа — в правую:

\[5x - 3x < 8 + 6 \Rightarrow 2x < 14\]

Шаг 4: Делим обе части на 2 (именно при делении на положительное число знак не меняется):

\[x < 7\]

Ответ: \(\boxed{x < 7}\).

---

б) \(3x - 7 \leq 9x - 1\)

Шаг 1: Переносим все с \(x\) в левую сторону, числа — в правую:

\[3x - 9x \leq -1 + 7\]

\[ -6x \leq 6\]

Шаг 2: Делим обе части на \(-6\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\[ x \geq \frac{6}{-6} \Rightarrow x \geq -1 \]

Ответ: \(\boxed{x \geq -1}\).

---

№ 2. Оцените значение выражений:

Дано: \(3 < a < 7\), \(1 < b < 4\).

а) \(7a + b\)

• Минимальное значение \(a\) — чуть больше 3, максимальное — чуть меньше 7.
• Для оценки минимального значения возьмем минимальные границы: \(a \approx 3\), \(b \approx 1\):

\[7 \times 3 + 1 = 21 + 1 = 22\]

• Для максимального значения: \(a \approx 7\), \(b \approx 4\):

\[7 \times 7 + 4 = 49 + 4 = 53\]

Следовательно, \(7a + b\) лежит в диапазоне примерно \(\boxed{22 < 7a + b < 53}\).

---

б) \(3b - 2a\)

• Минимальные границы: \(a \approx 3\), \(b \approx 1\):

\[3 \times 1 - 2 \times 3 = 3 - 6 = -3\]

• Максимальные: \(a \approx 7\), \(b \approx 4\):

\[3 \times 4 - 2 \times 7 = 12 - 14 = -2\]

• Также можно найти максимум и минимум внутри диапазона примерно — в результате значение лежит в диапазоне \(\boxed{-3 < 3b - 2a < -2}\).

---

№ 3. Установите, при каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \(\sqrt{5x^2 + 10x}\)

Условие: выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\[ 5x^2 + 10x \geq 0 \]

Шаг 1: Вынесем множитель:

\[ 5x(x + 2) \geq 0 \]

Шаг 2: Решим неравенство:

Знак выражения зависит от знаков множителей \(x\) и \(x + 2\).

• корень у = \(x = 0\)
• корень у = \(x = -2\)

Разобьём на интервалы:

• \(x < -2\): оба множителя отрицательны, произведение положительное → выражение > 0
• \(x = -2\): произведение равно нулю → подходит
• \(-2 < x < 0\): один множитель отрицателен, другой положителен → произведение отрицательное → не подходит
• \(x=0\): произведение равно нулю → подходит
• \(x > 0\): оба множителя положительные → произведение > 0

Ответ:

\[ x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 0 \]

---

№ 4. При каких значениях параметра \(p\) уравнение \(5x^2 + 2x - p = 0\)?

Квадратное уравнение имеет:

• Два корня, если дискриминант \(D > 0\)
• Отсутствие корней, если \(D < 0\)

Дискриминант:

\[D = (2)^2 - 4 \times 5 \times (-p) = 4 + 20p\]

A) \(D > 0:\)

\[ 4 + 20p > 0 \Rightarrow 20p > -4 \Rightarrow p > -\frac{1}{5} \]

Б) \(D < 0:\)

\[ 4 + 20p < 0 \Rightarrow 20p < -4 \Rightarrow p < -\frac{1}{5} \]

Ответ:

• Два корня: \(p > -\frac{1}{5}\)
• Нет корней: \(p < -\frac{1}{5}\)

---

№ 5. Дана функция:

\[ y = f(x) \]

где

\[f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0 \\ -x + 4, & x > 0 \end{cases}\]

(предположим, что при \(x=0\) функция не определена или можем ввести значение определённым образом).

а) Найти:

• \(f(-1)\):

Поскольку \(-1 < 0\), применяем первое выражение:

\[ f(-1) = -1 + 2 = 1 \]

• \(f(2)\):

Так как \(2 > 0\), — второе выражение:

\[ f(2) = -2 + 4 = 2 \]

• \(f(5)\):

\[ f(5) = -5 + 4 = -1 \]

Ответ:

\[ f(-1)=1, \quad f(2)=2, \quad f(5)=-1 \]

б) Построение графика:

• Для \(x<0\), график — линия (прямая): \(y = x + 2\), проходящая через точки \((-2, 0)\) и \((0, 2)\).
• Для \(x>0\), график — другая прямая: \(y = -x + 4\), проходящая через точки \((0, 4)\) и \((2, 2)\).

На графике соедините эти две части, учитывая, что у в точке \(x=0\) есть разрыв (функция не задана или задана отдельно).

в) Свойства функции:

• Функция разрывна в точке \(x=0\);
• Линии — прямые, функция кусочная;
• Область определения: \(\mathbb{R}\);
• Область значения: максимум — \(4\) (при \(x<0\), при \(x=0\)), минимальный — \(-\infty\).

---

Если нужно, я могу помочь вам построить график или объяснить подробнее любой из пунктов.