Рассмотрим каждое задание по порядку. Я постараюсь дать максимально подробное объяснение, чтобы понять хотя бы исходные принципы решения.
№ 1. Решите неравенства:
а) (7x - 2(x + 3) < 8 + 3x)
Шаг 1: Раскроем скобки слева:
[7x - 2x - 6 < 8 + 3x]
Шаг 2: Объединим подобные члены слева:
[(7x - 2x) - 6 < 8 + 3x \Rightarrow 5x - 6 < 8 + 3x]
Шаг 3: Переносим все с (x) в левую часть, числа — в правую:
[5x - 3x < 8 + 6 \Rightarrow 2x < 14]
Шаг 4: Делим обе части на 2 (именно при делении на положительное число знак не меняется):
[x < 7]
Ответ: (\boxed{x < 7}).
б) (3x - 7 \leq 9x - 1)
Шаг 1: Переносим все с (x) в левую сторону, числа — в правую:
[3x - 9x \leq -1 + 7]
[ -6x \leq 6]
Шаг 2: Делим обе части на (-6). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
[
x \geq \frac{6}{-6} \Rightarrow x \geq -1
]
Ответ: (\boxed{x \geq -1}).
№ 2. Оцените значение выражений:
Дано: (3 < a < 7), (1 < b < 4).
а) (7a + b)
- Минимальное значение (a) — чуть больше 3, максимальное — чуть меньше 7.
- Для оценки минимального значения возьмем минимальные границы: (a \approx 3), (b \approx 1):
[7 \times 3 + 1 = 21 + 1 = 22]
- Для максимального значения: (a \approx 7), (b \approx 4):
[7 \times 7 + 4 = 49 + 4 = 53]
Следовательно, (7a + b) лежит в диапазоне примерно (\boxed{22 < 7a + b < 53}).
б) (3b - 2a)
- Минимальные границы: (a \approx 3), (b \approx 1):
[3 \times 1 - 2 \times 3 = 3 - 6 = -3]
- Максимальные: (a \approx 7), (b \approx 4):
[3 \times 4 - 2 \times 7 = 12 - 14 = -2]
- Также можно найти максимум и минимум внутри диапазона примерно — в результате значение лежит в диапазоне (\boxed{-3 < 3b - 2a < -2}).
№ 3. Установите, при каких значениях (x) имеет смысл выражение (\sqrt{5x^2 + 10x})
Условие: выражение под корнем должно быть неотрицательным:
[
5x^2 + 10x \geq 0
]
Шаг 1: Вынесем множитель:
[
5x(x + 2) \geq 0
]
Шаг 2: Решим неравенство:
Знак выражения зависит от знаков множителей (x) и (x + 2).
- корень у = (x = 0)
- корень у = (x = -2)
Разобьём на интервалы:
- (x < -2): оба множителя отрицательны, произведение положительное → выражение > 0
- (x = -2): произведение равно нулю → подходит
- (-2 < x < 0): один множитель отрицателен, другой положителен → произведение отрицательное → не подходит
- (x=0): произведение равно нулю → подходит
- (x > 0): оба множителя положительные → произведение > 0
Ответ:
[
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 0
]
№ 4. При каких значениях параметра (p) уравнение (5x^2 + 2x - p = 0)?
Квадратное уравнение имеет:
- Два корня, если дискриминант (D > 0)
- Отсутствие корней, если (D < 0)
Дискриминант:
[D = (2)^2 - 4 \times 5 \times (-p) = 4 + 20p]
A) (D > 0:)
[
4 + 20p > 0 \Rightarrow 20p > -4 \Rightarrow p > -\frac{1}{5}
]
Б) (D < 0:)
[
4 + 20p < 0 \Rightarrow 20p < -4 \Rightarrow p < -\frac{1}{5}
]
Ответ:
- Два корня: (p > -\frac{1}{5})
- Нет корней: (p < -\frac{1}{5})
№ 5. Дана функция:
[ y = f(x) ]
где
[f(x) = \begin{cases}
x + 2, & x < 0 \
-x + 4, & x > 0
\end{cases}]
(предположим, что при (x=0) функция не определена или можем ввести значение определённым образом).
а) Найти:
Поскольку (-1 < 0), применяем первое выражение:
[
f(-1) = -1 + 2 = 1
]
Так как (2 > 0), — второе выражение:
[
f(2) = -2 + 4 = 2
]
[
f(5) = -5 + 4 = -1
]
Ответ:
[
f(-1)=1, \quad f(2)=2, \quad f(5)=-1
]
б) Построение графика:
- Для (x<0), график — линия (прямая): (y = x + 2), проходящая через точки ((-2, 0)) и ((0, 2)).
- Для (x>0), график — другая прямая: (y = -x + 4), проходящая через точки ((0, 4)) и ((2, 2)).
На графике соедините эти две части, учитывая, что у в точке (x=0) есть разрыв (функция не задана или задана отдельно).
в) Свойства функции:
- Функция разрывна в точке (x=0);
- Линии — прямые, функция кусочная;
- Область определения: (\mathbb{R});
- Область значения: максимум — (4) (при (x<0), при (x=0)), минимальный — (-\infty).
Если нужно, я могу помочь вам построить график или объяснить подробнее любой из пунктов.
