В окружности радиуса 10 см проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра. найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. К задаче постройте рисунок, запишите дано, решение с пояснением

Давайте по порядку разберем эту задачу, сделаем чертеж и подробно объясним каждый шаг. --- **Условие задачи** - Имеется окружность с радиусом R = 10 см. - На этом окружности на диаметре проведена точка А, которая находится на расстоянии 5 см от центра. - Нужно найти радиус r второй окружности, которая: 1. касается данной окружности внутри в точке А. 2. касается диаметр в точке А. --- ### Построение рисунка 1. Нарисуем большую окружность с центром O и радиусом 10 см. 2. Проведем диаметр, проходящий через точку O, обозначим ее как O. 3. На этом диаметре возьмем точку А, расположенную так, что расстояние от центра O до А равно 5 см (так как точка А берется на диаметре, оно в пределах окружности). Внимание: Из условия "на диаметре взята точка А на расстоянии 5 см от центра" — это означает, что А находится на диаметре, проходящем через центр O, и его расстояние до O равно 5 см. Значит, А лежит либо слева, либо справа от O на диаметре. Пусть А находится справа от O, тогда: \[ |OA| = 5\, \text{см} \] 4. Точка A — внутри окружности. --- ### Анализ задачи - Нам нужна вторая окружность с радиусом r, которая: - касается первой (большой) внутри в точке A. - касается диаметра в точке A (то есть, касание “по дуге” — в точке A). Это означает, что вторая окружность: - касается первой окружности в точке A (ее внутреннее касание). - касается диаметр в точке A (касание в точке A). Поскольку касание происходит в одной точке, касательные к двум окружностям в точке A совпадают. --- ### Шаг 1. Координаты и положения Обозначим: - Центр большой окружности — O с координатами \((0, 0)\). - Положение точки A на диаметре: по оси x — пусть \(A = (5, 0)\). Тогда: - Большая окружность: уравнение \(x^2 + y^2 = 10^2 = 100\). --- ### Шаг 2. Свойства второй окружности Обозначим: - Центр второй окружности — \(C = (x_c, y_c)\). - Радиус — \(r\). Эта окружность касается внутри первой в точке A: - Значит, расстояние от \(C\) до \(A\) равно \(r\): \[ |C A| = r \] Также она касается диаметра в точке \(A\), то есть, в точке \((5, 0)\). - Центр окружности \(C\) и точки касания в точке \(A\) лежат на одной прямой (касательная в точке A). Поскольку касание окружности в точке A — точка A — это точка касания, то: - Центр второй окружности \(C\) лежит на прямой, проходящей через \(A=(5,0)\). - Радиус окружности \(r\) — перпендикуляр к касательной линии, которая по сути — линия, проходящая через \(A\) и \(C\), так что касательная в \(A\) — касательная к обеим окружностям. --- ### Шаг 3. Взаимное расположение и свойства Рассмотрим две ситуации: 1. **Круг касается первой внутри в точке A**, значит, расстояние между центрами равно \( R - r = 10 - r \): \[ |O C| = 10 - r \] 2. **Круг касается диаметра в точке A**, то это значит, что центр второй окружности лежит на линии, проходящей через A, причем этот круг "прикоснется" к диаметру там же (по условию). --- ### Шаг 4. Определение центра C Поскольку касание происходит в точке \(A=(5,0)\), и \(A\) — точка касания касателеной окружности, а она касается "изнутри", то: - Центр \(C\) лежит на линии, соединяющей \(A\) и центр \(O\). --- ### Шаг 5. Уравнение Обозначим: - \(C = (x_c, y_c)\). Тогда: - \(|A C| = r\) — радиус второй окружности. - Расстояние от \(O\) до \(C\): \[ |O C| = \sqrt{(x_c)^2 + (y_c)^2} = 10 - r \] - Так как \(A = (5,0)\): \[ |A C| = \sqrt{(x_c - 5)^2 + y_c^2} = r \] --- ### Шаг 6. Решение системы уравнений Запишем систему: \[ \begin{cases} \sqrt{(x_c)^2 + (y_c)^2} = 10 - r \\ \sqrt{(x_c - 5)^2 + y_c^2} = r \end{cases} \] Возьмем квадраты обеих уравнений: 1) \((x_c)^2 + (y_c)^2 = (10 - r)^2\) 2) \((x_c - 5)^2 + y_c^2 = r^2\) Вычитая второе уравнение из первого: \[ x_c^2 + y_c^2 - [(x_c - 5)^2 + y_c^2] = (10 - r)^2 - r^2 \] Обратите внимание, что \( y_c^2 \) сократится: \[ x_c^2 - (x_c^2 - 10 x_c + 25) = (10 - r)^2 - r^2 \] Раскроем скобки: \[ x_c^2 - x_c^2 + 10 x_c - 25 = (10 - r)^2 - r^2 \] Остается: \[ 10 x_c - 25 = (10 - r)^2 - r^2 \] Раскроем левую часть правой стороны: \[ (10 - r)^2 - r^2 = (100 - 20 r + r^2) - r^2 = 100 - 20 r \] Следовательно: \[ 10 x_c - 25 = 100 - 20 r \] Отсюда выражим \(x_c\): \[ 10 x_c = 125 - 20 r \] \[ x_c = 12.5 - 2 r \] Теперь подставим \(x_c = 12.5 - 2 r\) в уравнение: \[ x_c^2 + y_c^2 = (10 - r)^2 \] Или: \[ (12.5 - 2 r)^2 + y_c^2 = (10 - r)^2 \] Рассчитаем: \[ (12.5)^2 - 2 \times 12.5 \times 2 r + (2 r)^2 + y_c^2 = 100 - 20 r + r^2 \] \[ 156.25 - 50 r + 4 r^2 + y_c^2 = 100 - 20 r + r^2 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ 156.25 - 50 r + 4 r^2 + y_c^2 - 100 + 20 r - r^2 = 0 \] Объединим подобные члены: \[ (156.25 - 100) + (-50 r + 20 r) + (4 r^2 - r^2) + y_c^2 = 0 \] \[ 56.25 - 30 r + 3 r^2 + y_c^2 = 0 \] Выразим \( y_c^2 \): \[ y_c^2 = -56.25 + 30 r - 3 r^2 \] Так как \( y_c^2 \geq 0 \), получим неравенство: \[ -56.25 + 30 r - 3 r^2 \geq 0 \] или: \[ 3 r^2 - 30 r + 56.25 \leq 0 \] Разделим на 3: \[ r^2 - 10 r + 18.75 \leq 0 \] Рассчитываем дискриминант: \[ \Delta = 100 - 4 \times 1 \times 18.75 = 100 - 75 = 25 \] Корни уравнения: \[ r = \frac{10 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{10 \pm 5}{2} \] То есть: - \( r_1 = \frac{10 - 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \) - \( r_2 = \frac{10 + 5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) Так как \( r^2 - 10 r + 18.75 \leq 0 \), то допустимые значения: \[ r \in [2.5, 7.5] \] --- ### **Ответ** Радиус искомой второй окружности находится в диапазоне от 2,5 до 7,5 см. Однако, при условии касания внутри (мы предполагаем мягкий случай), наиболее вероятное значение — это среднее примерно — около \( r \approx 5\, \text{см} \). --- ### Итог: - **Радиус второй окружности**: **от 2,5 до 7,5 см**. - Для точного определения нужно больше условий или уточнений, однако, из анализа, радиус находится в этом диапазоне. --- Если Вам нужно построить иллюстрацию или провести более точные вычисления, я могу помочь далее!