F|x| x+2 при x ≤ 1 4-x при x≥1 построить график

Давайте разберёмся с задачей по построению графика функции: \[ f(x) = \begin{cases} |x| \cdot x + 2, & \text{при } x \leq 1 \\ 4 - x, & \text{при } x \geq 1 \end{cases} \] ### Шаг 1. Анализ функции при разных областях определения **Область 1:** \( x \leq 1 \) Функция: \( f(x) = |x| \cdot x + 2 \) Для этого случая нужно понять, как выглядит выражение \( |x| \cdot x \). - Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \), и функция принимает вид: \[ f(x) = x \cdot x + 2 = x^2 + 2 \] - Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \), и: \[ f(x) = (-x) \cdot x + 2 = -x^2 + 2 \] Но так как у нас ограничение \( x \leq 1 \), то для области \( x \leq 1 \): - На интервале \( x \in (-\infty, 0) \) функция: \( f(x) = -x^2 + 2 \) - В точке \( x=0 \), функция: \( f(0) = |-0| \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2 \) **Область 2:** \( x \geq 1 \) Функция: \( f(x) = 4 - x \) Это линейная функция с отрицательным наклоном. ### Шаг 2. Построение графика по кускам 1. Для \( x \leq 0 \): \[ f(x) = -x^2 + 2 \] Это парабола, открывающаяся вниз, вершина в точке \( (0,2) \). 2. Для \( 0 < x \leq 1 \): Значение в точке \( x=1 \): \[ f(1) = |1|\cdot 1 + 2 = 1 + 2 = 3 \] На интервале \( (0,1] \) функция меняется от значения в \( x=0 \): \[ f(0) = 2 \] до значения в \( x=1 \): \[ f(1) = 3 \] 3. Для \( x \geq 1 \): \[ f(x) = 4 - x \] Это прямая, начинающаяся в точке \( (1, 3) \). ### Шаг 3. Построение графика - Построим параболу \( y=-x^2+2 \) от \( -\infty \) до \( 1 \). - На интервале \( (0,1] \) она идет от \( (0,2) \) до \( (1,3) \). - В точке \( x=1 \), есть соединение двух частей функции: \( f(1) = 3 \). - Для \( x \geq 1 \) — линия \( y=4-x \), которая начинается в точке \( (1,3) \) и убывает. ### Итоговая картина: - Парабола с вершиной в точке \( (0, 2) \), спускается вниз слева. - На интервале \( (0,1] \) она плавно поднимается до точки \( (1,3) \). - После этого функция продолжается наклонной линией \( y=4 - x \), начиная с точки \( (1,3) \). --- Если хотите, я могу помочь вам нарисовать график или дать более подробное объяснение!