f|x| x+2 при x ≤ 1 4-x при x≥1 построить график
Давайте разберёмся с задачей по построению графика функции:
\[ f(x) = \begin{cases} |x| \cdot x + 2, & \text{при } x \leq 1 \\ 4 - x, & \text{при } x \geq 1 \end{cases} \]
Шаг 1. Анализ функции при разных областях определения
Область 1: \( x \leq 1 \)
Функция: \( f(x) = |x| \cdot x + 2 \)
Для этого случая нужно понять, как выглядит выражение \( |x| \cdot x \).
- Если \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \), и функция принимает вид:
\[ f(x) = x \cdot x + 2 = x^2 + 2 \]
- Если \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \), и:
\[ f(x) = (-x) \cdot x + 2 = -x^2 + 2 \]
Но так как у нас ограничение \( x \leq 1 \), то для области \( x \leq 1 \):
- На интервале \( x \in (-\infty, 0) \) функция: \( f(x) = -x^2 + 2 \)
- В точке \( x=0 \), функция: \( f(0) = |-0| \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2 \)
Область 2: \( x \geq 1 \)
Функция: \( f(x) = 4 - x \)
Это линейная функция с отрицательным наклоном.
Шаг 2. Построение графика по кускам
- Для \( x \leq 0 \):
\[ f(x) = -x^2 + 2 \] Это парабола, открывающаяся вниз, вершина в точке \( (0,2) \).
- Для \( 0 < x \leq 1 \):
Значение в точке \( x=1 \): \[ f(1) = |1|\cdot 1 + 2 = 1 + 2 = 3 \]
На интервале \( (0,1] \) функция меняется от значения в \( x=0 \):
\[ f(0) = 2 \] до значения в \( x=1 \):
\[ f(1) = 3 \]
- Для \( x \geq 1 \):
\[ f(x) = 4 - x \] Это прямая, начинающаяся в точке \( (1, 3) \).
Шаг 3. Построение графика
Построим параболу \( y=-x^2+2 \) от \( -\infty \) до \( 1 \).
На интервале \( (0,1] \) она идет от \( (0,2) \) до \( (1,3) \).
В точке \( x=1 \), есть соединение двух частей функции: \( f(1) = 3 \).
Для \( x \geq 1 \) — линия \( y=4-x \), которая начинается в точке \( (1,3) \) и убывает.
Итоговая картина:
- Парабола с вершиной в точке \( (0, 2) \), спускается вниз слева.
- На интервале \( (0,1] \) она плавно поднимается до точки \( (1,3) \).
- После этого функция продолжается наклонной линией \( y=4 - x \), начиная с точки \( (1,3) \).
Если хотите, я могу помочь вам нарисовать график или дать более подробное объяснение!
