Давайте подробно разберем задачу по вычислению вероятности наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях Бернулли при вероятности успеха p=0,5.
Шаг 1: Определение задачи
Это задача на биномиальное распределение, то есть вероятность получить ровно k успешных исходов из n независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность успеха p.
Формула биномиальной вероятности:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — число сочетаний (комбинации), выбирающих k успехов из n испытаний,
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании.
Шаг 2: Подставляем известные значения
Дано:
- ( n = 9 )
- ( k = 6 )
- ( p = 0,5 )
Тогда:
[
P(6; 9, 0,5) = C(9, 6) \times (0,5)^6 \times (1 - 0,5)^{9 - 6}
]
[
P(6; 9, 0,5) = C(9, 6) \times (0,5)^6 \times (0,5)^3
]
Обратите внимание, что ( (0,5)^6 \times (0,5)^3 = (0,5)^{6+3} = (0,5)^9 ).
Шаг 3: Вычисляем число сочетаний ( C(9, 6) )
Число сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!}
]
Подставляем:
[
C(9, 6) = \frac{9!}{6! \times (9-6)!} = \frac{9!}{6! \times 3!}
]
Вычисляем:
- ( 9! = 362880 )
- ( 6! = 720 )
- ( 3! = 6 )
Следовательно:
[
C(9, 6) = \frac{362880}{720 \times 6} = \frac{362880}{4320} = 84
]
Шаг 4: Подставляем полученное значение в формулу
Теперь:
[
P(6; 9, 0,5) = 84 \times (0,5)^9
]
Значение ( (0,5)^9 ):
[
(0,5)^9 = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}
]
Итоговая вероятность:
[
P = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{84}{512}
]
Упростим дробь:
[
\frac{84}{512} = \frac{21}{128}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Вероятность того, что будет ровно 6 успехов в 9 испытаниях при } p=0,5 \text{ равна } \frac{21}{128} \approx 0{,}1641
}
]
Если нужно — могу помочь и с другими задачами!
