Найдите вероятность наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р=0,5.

Давайте подробно разберем задачу по вычислению вероятности наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях Бернулли при вероятности успеха p=0,5.

Шаг 1: Определение задачи

Это задача на биномиальное распределение, то есть вероятность получить ровно k успешных исходов из n независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность успеха p.

Формула биномиальной вероятности: \[ P(k; n, p) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n - k} \] где:

• \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинации), выбирающих k успехов из n испытаний,
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.

Шаг 2: Подставляем известные значения

Дано:

• \( n = 9 \)
• \( k = 6 \)
• \( p = 0,5 \)

Тогда: \[ P(6; 9, 0,5) = C(9, 6) \times (0,5)^6 \times (1 - 0,5)^{9 - 6} \]

\[ P(6; 9, 0,5) = C(9, 6) \times (0,5)^6 \times (0,5)^3 \]

Обратите внимание, что \( (0,5)^6 \times (0,5)^3 = (0,5)^{6+3} = (0,5)^9 \).

Шаг 3: Вычисляем число сочетаний \( C(9, 6) \)

Число сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \]

Подставляем: \[ C(9, 6) = \frac{9!}{6! \times (9-6)!} = \frac{9!}{6! \times 3!} \]

Вычисляем:

• \( 9! = 362880 \)
• \( 6! = 720 \)
• \( 3! = 6 \)

Следовательно: \[ C(9, 6) = \frac{362880}{720 \times 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \]

Шаг 4: Подставляем полученное значение в формулу

Теперь: \[ P(6; 9, 0,5) = 84 \times (0,5)^9 \]

Значение \( (0,5)^9 \): \[ (0,5)^9 = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512} \]

Итоговая вероятность:

\[ P = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{84}{512} \]

Упростим дробь: \[ \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Вероятность того, что будет ровно 6 успехов в 9 испытаниях при } p=0,5 \text{ равна } \frac{21}{128} \approx 0{,}1641 } \]

Если нужно — могу помочь и с другими задачами!