Давайте подробно разберем задачу и решим ее пошагово.
Дано:
- Расстояние по пути против течения составляет 72 км.
- Лодка прошла туда и обратно, и время пути обратно на 2 часа меньше, чем время пути против течения.
- Скорость течения реки: (v_{течения} = 3, \text{км/ч}).
- Нужно найти скорость лодки в стоячей воде: (v_{лодки}).
Шаг 1: Обозначим переменные
- (v_{лодки}) — скорость лодки в стоячей воде (то, что нужно найти).
- (v_{течения} = 3, \text{км/ч}).
Шаг 2: Выразим скорости по направлениям
- Против течения: скорость лодки относительно земли = (v_{лодки} - v_{течения}).
- По течению: скорость лодки относительно земли = (v_{лодки} + v_{течения}).
Шаг 3: Запишем выражения для времени пути
Время пути против течения:
[
t_{против} = \frac{S}{v_{лодки} - 3}
]
где (S = 72, \text{км}).
Время пути по течению:
[
t_{по} = \frac{S}{v_{лодки} + 3}
]
Шаг 4: Условие задачи
Время обратно (по течению) на 2 часа меньше, чем против течения:
[
t_{против} - t_{по} = 2
]
Подставляем выражения для времен:
[
\frac{72}{v_{лодки} - 3} - \frac{72}{v_{лодки} + 3} = 2
]
Шаг 5: Решим уравнение
Обозначим (v_{лодки} = v) для краткости.
[
\frac{72}{v - 3} - \frac{72}{v + 3} = 2
]
Найдём общий знаменатель:
[
\frac{72(v + 3) - 72(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 2
]
Раскроем числитель:
[
72v + 216 - 72v + 216 = 2(v^2 - 9)
]
Обратите внимание: в числителе
[
72v + 216 - 72v + 216 = 432
]
Тогда уравнение становится:
[
\frac{432}{v^2 - 9} = 2
]
Шаг 6: Решение уравнения
Умножим обе части на (v^2 - 9):
[
432 = 2 (v^2 - 9)
]
Раскроем скобки:
[
432 = 2v^2 - 18
]
Перенесём все в левую сторону:
[
2v^2 - 18 - 432 = 0
]
[
2v^2 - 450 = 0
]
Разделим обе части уравнения на 2:
[
v^2 - 225 = 0
]
Решаем:
[
v^2 = 225
]
[
v = \pm 15
]
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
[
v = 15, \text{км/ч}
]
Ответ:
Скорость лодки в стоячей воде — 15 км/ч.
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
