4x^2-20x+25=(3x+1)^2
Рассмотрим данное уравнение:
\[ 4x^2 - 20x + 25 = (3x + 1)^2 \]
Цель — понять и подробно решить его.
Шаг 1. Раскроем правую часть уравнения
Раскроем квадрат:
\[ (3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1 \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 4x^2 - 20x + 25 = 9x^2 + 6x + 1 \]
Шаг 2. Перенесем все влево, чтобы собрать уравнение в виде нуля
Перенесем правую часть влево:
\[ 4x^2 - 20x + 25 - 9x^2 - 6x - 1 = 0 \]
Объединим подобные члены:
- По \(x^2\): \(4x^2 - 9x^2 = -5x^2\)
- По \(x\): \(-20x - 6x = -26x\)
- Постоянные: \(25 - 1 = 24\)
Получаем:
\[ -5x^2 - 26x + 24 = 0 \]
Чтобы было проще работать, разделим всё уравнение на -1:
\[ 5x^2 + 26x - 24 = 0 \]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
Используем формулу для корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=5\), \(b=26\), \(c=-24\).
Подставим:
\[ x = \frac{-26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24)}}{2 \cdot 5} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156 \]
Так как \(\sqrt{1156} = 34\), то корни:
\[ x = \frac{-26 \pm 34}{10} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( x = \frac{-26 + 34}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 \)
- \( x = \frac{-26 - 34}{10} = \frac{-60}{10} = -6 \)
Итоговые решения:
\[ \boxed{ x = 0{,}8 \quad \text{или} \quad x = -6 } \]
Если нужно, я могу дополнительно объяснить, как проверять решения подставляя обратно в исходное уравнение или более подробно разобрать каждое действие.
