симметричную игральную кость кинули 3 раза. известно что у сумме выпало 7 очков. какова вероятность что в выпадет 5 очков
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.
Задача:
Игральную кость кинули 3 раза. Известно, что сумма очков, выпавших за эти три броска, равна 7. Требуется найти вероятность того, что в одном из этих бросков выпадет 5 очков.
1. Общие сведения:
- В кубике 6 граней с числом от 1 до 6.
- Броски — независимые.
- Необходимо рассмотреть все возможные варианты последовательностей из 3 чисел, сумма которых равна 7.
2. Какие комбинации возможны?
Нам нужно найти все тройки чисел \((a, b, c)\), где каждое — от 1 до 6, и сумма равна 7: \[ a + b + c = 7 \]
Это задача на поиск всех целочисленных решений уравнения с ограничениями.
3. Поиск всех решений:
Рассмотрим все возможные варианты для \(a\), затем для \(b\), и посчитаем \(c\):
- Пусть \(a\) — от 1 до 6.
- Для каждого \(a\) вычислим \(b + c = 7 - a\).
Поскольку \(b, c \ge 1\) и \(b, c \le 6\), ограничения для \(b\) и \(c\) следует проверить.
Рассмотрим каждое значение \(a\):
4. Перебор вариантов:
a = 1:
\[ b + c = 6 \] Значения \(b, c\) — от 1 до 6, сумма 6.
Возможные пары \((b, c)\):
- (1, 5)
- (2, 4)
- (3, 3)
- (4, 2)
- (5, 1)
Всего 5 решений.
a = 2:
\[ b + c = 5 \] Пары:
- (1, 4)
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
Всего 4 решений.
a = 3:
\[ b + c = 4 \] Пары:
- (1, 3)
- (2, 2)
- (3, 1)
Всего 3 решений.
a = 4:
\[ b + c = 3 \] Пары:
- (1, 2)
- (2, 1)
Всего 2 решений.
a = 5:
\[ b + c = 2 \] Пары:
- (1, 1)
Всего 1 решение.
a = 6:
\[ b + c = 1 \] Но \(b, c \ge 1\), и сумма не может быть 1, поскольку минимально возможная сумма двух чисел — 2.
Значит, решений для \(a=6\) — нет.
5. Итог - все возможные комбинации:
- Для \(a=1\): 5 вариантов
- \(a=2\): 4 варианта
- \(a=3\): 3 варианта
- \(a=4\): 2 варианта
- \(a=5\): 1 вариант
- \(a=6\): 0 вариантов
Итого решений:
\[
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
\]
6. Посчитаем, сколько из этих решений содержат число 5 (то есть, выпадет ли 5 в одном из бросков).
Поиск решений, где хотя бы один из бросков равен 5:
Если \(a=5\): \(b + c = 2\):
- Решение: (1,1), и тут \(a=5\) — есть 1 вариант.
Если \(b=5\): найдём такие случаи:
В первом случае, чтобы \(b=5\), из уравнения \(a + c = 7 - b = 2\)
\[ a + c = 2 \] Но \(a, c \ge 1\). Единственный вариант — \(a=1\), \(c=1\).Значит, одна тройка: \((a=1, b=5, c=1)\).
Если \(c=5\): аналогично: \(a + b=2\):
- \(a=1, b=1\)
Тройка: \((a=1, b=1, c=5)\).
7. ИТОГ — количество решений, где есть 5:
- (5, 1, 1)
- (1, 5, 1)
- (1, 1, 5)
Общее число — 3 варианта.
8. Вероятность найти в последовательности хотя бы одно 5, при условии, что сумма равна 7:
Поскольку всего решений — 15, а решений с числом 5 — 3, вероятность равна:
\[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]
Итог:
Ответ: вероятность того, что в броске выпадет 5 очков при условии, что сумма трёх бросков равна 7, равна \(\boxed{\frac{1}{5}}\) или 20%.
Если нужно, я могу помочь разобраться подробнее или объяснить любой из этапов.
