Определи вид треугольника MNK , зная координаты его вершин M(−1;5;3) , N(7;−1;3) и K(3;−2;6) .

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Нам даны координаты трех вершин треугольника M, N и K:

• \( M(-1; 5; 3) \)
• \( N(7; -1; 3) \)
• \( K(3; -2; 6) \)

Цель — определить, какой же вид треугольника это: равнобедренный, равносторонний или прямо угольный.

Шаг 1: Найдём длины сторон треугольника

Используем формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Длина стороны MN:

\[ MN = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (-1 - 5)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36 + 0} = \sqrt{100} = 10 \]

Длина стороны MK:

\[ MK = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74} \approx 8.60 \]

Длина стороны NK:

\[ NK = \sqrt{(3 - 7)^2 + (-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26} \approx 5.10 \]

Шаг 2: Анализируем длины сторон

Получили:

• \( MN = 10 \)
• \( MK \approx 8.60 \)
• \( NK \approx 5.10 \)

Так как все три стороны имеют разную длину, треугольник не является равносторонним.

Шаг 3: Проверка прямого угла

Чтобы понять, есть ли в треугольнике прямой угол, применим теорему Пифагора для каждой пары сторон:

• Проверим, равно ли сумма квадратов двух меньших сторон квадрату самой длинной.

Квадраты сторон:

\[ MN^2 = 100 \] \[ MK^2 \approx 8.60^2 \approx 74 \] \[ NK^2 \approx 5.10^2 \approx 26 \]

Проверим:

\[ MK^2 + NK^2 \approx 74 + 26 = 100 \]

Это равно \( MN^2 \), следовательно, треугольник имеет прямой угол между сторонами MK и NK, так как сумма их квадратов равна квадрату стороны MN.

Итог:

• Треугольник прямоугольный (есть прямой угол),
• не равносторонний,
• и, поскольку две стороны — MK и NK — не равны, он не является равнобедренным.

Ответ:

\(\boxed{\text{Треугольник MНK — прямоугольный.}}\)