Найди корни уравнения √6x2 2x + 1 = √3x + 2.

Давайте решим уравнение:
\(\sqrt{6}x^2 + 2x + 1 = \sqrt{3}x + 2\)

Пошагово объясню, как его решить.

Шаг 1: перепишем уравнение для удобства

Запишем его так: \[ \sqrt{6}x^2 + 2x + 1 = \sqrt{3}x + 2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы у нас было уравнение равное нулю: \[ \sqrt{6}x^2 + 2x + 1 - \sqrt{3}x - 2 = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ \sqrt{6}x^2 + (2x - \sqrt{3}x) + (1 - 2) = 0 \]

\[ \sqrt{6}x^2 + (2 - \sqrt{3})x - 1 = 0 \]

Шаг 2: обозначение и формула решения квадратичного уравнения

Обозначим:

• \(a = \sqrt{6}\)
• \(b = 2 - \sqrt{3}\)
• \(c = -1\)

Квадратичное уравнение: \[ a x^2 + b x + c = 0 \]

Решается по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Шаг 3: вычисляем дискриминант

Посчитаем \(D = b^2 - 4ac\):

\[ b^2 = (2 - \sqrt{3})^2 \] Раскроем скобки: \[ (2)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \]

Теперь посчитаем \(4ac\): \[ 4 \times \sqrt{6} \times (-1) = -4 \sqrt{6} \]

Следовательно, \[ D = (7 - 4\sqrt{3}) - (-4 \sqrt{6}) = 7 - 4\sqrt{3} + 4 \sqrt{6} \]

Шаг 4: вычисляем корни

Подставляем значения в формулу:

\[ x = \frac{-(2 - \sqrt{3}) \pm \sqrt{7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \]

Немного упростим числитель:

\[ -(2 - \sqrt{3}) = -2 + \sqrt{3} \]

Значит, решения такие:

\[ x = \frac{-2 + \sqrt{3} \pm \sqrt{7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \]

Шаг 5: проверка и заключение

Это — общие выражения для корней. Обычно, в подобных задачах, если требуется найти конкретные числовые значения, используют приближения.

Итог:

Корни уравнения выражаются следующими формулами:

\[ x = \frac{\sqrt{3} - 2 \pm \sqrt{7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \]

Если нужно — я могу помочь с приближенными значениями!