1) x ^ 2 + 5x = 0 2) x² - 4 = 0 3) 3x + 2x²-5 = 0 4) x ^ 2 + 2 + 3x = 0 x ^ 2 + 4x + 4 = 0 5) 6) 3x² + 8x = 3 7) 6a ^ 2 + 2 = 6a
Конечно! Ниже приведены пошаговые решения каждой из приведённых задач:
1) \( x^2 + 5x = 0 \)
Шаг 1: Вынесем общий множитель \( x \):
\[ x (x + 5) = 0 \]
Шаг 2: Решаем произведение:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0 \]
Шаг 3: Получаем решения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -5 \]
Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -5 \).
2) \( x^2 - 4 = 0 \)
Шаг 1: Распишем как разность квадратов:
\[ x^2 - 2^2 = 0 \]
Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:
\[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]
Шаг 3: Решаем уравнение:
\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Ответ: \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
3) \( 3x + 2x^2 - 5 = 0 \)
Шаг 1: Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \]
Шаг 2: Используем формулу квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=-5 \).
Шаг 3: Подставим значения:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} \]
Шаг 4: Вычисляем корень:
\[ \sqrt{49} = 7 \]
Шаг 5: Получаем два решения:
\[ x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 \]
Ответ: \( x = 1 \) или \( x = -2.5 \).
4) \( x^2 + 2 + 3x = 0 \)
Шаг 1: Перепишем в стандартной форме:
\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]
Шаг 2: Раскладываем на множители или используем формулу.
Перекроем, чтобы было удобно:
\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]
Шаг 3: Находим корни методом разложения:
Ищем два числа, которые в сумме дают 3, и в произведении — 2:
\[ ( x + 1 )( x + 2 ) = 0 \]
Шаг 4: Решаем каждое:
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Ответ: \( x = -1 \) или \( x = -2 \).
5) \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)
Шаг 1: Обратите внимание, что это квадрат полного двучлена:
\[ (x + 2)^2 = 0 \]
Шаг 2: Решаем уравнение:
\[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Ответ: \( x = -2 \) (единственный корень, кратный 2).
6) \( 3x^2 + 8x = 3 \)
Шаг 1: Перенесем все в одну часть:
\[ 3x^2 + 8x - 3 = 0 \]
Шаг 2: Используем формулу квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{6} \]
Шаг 3: Вычисляем корень:
\[ \sqrt{100} = 10 \]
Шаг 4: Получаем решения:
\[ x = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
Ответ: \( x = \frac{1}{3} \) или \( x = -3 \).
7) \( 6a^2 + 2 = 6a \)
Шаг 1: Перенесем все в одну сторону:
\[ 6a^2 - 6a + 2 = 0 \]
Шаг 2: Делим все уравнение на 2, чтобы упростить:
\[ 3a^2 - 3a + 1 = 0 \]
Шаг 3: Используем формулу решения квадратичного уравнения:
\[ a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{6} \]
Шаг 4: Заметим, что дискриминант отрицателен (\( -3 \)), значит, решения комплексные:
\[ a = \frac{3 \pm i \sqrt{3}}{6} \]
или
\[ a = \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{6} \]
Ответ: комплексные решения:
\[ a = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{6} \quad \text{и} \quad a = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{6} \]
Если нужны дополнительные разъяснения или решения, спрашивайте!
