Через точку А окружности проведены касательная АС и хорда АВ. Найдите меньшую из дуг АВ, если угол ВАС равен 63°. Ответ дайте в градусах. A B

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.

Дано:

• Через точку A проведены касательная АС и хорда АВ.
• Угол ВАС равен 63°.
• Требуется найти меньшую из дуг АВ.

Шаг 1. Анализ условия

Что известно?

• АС — касательная к окружности в точке А.
• АВ — хордa, исходящая из точки A, соединяющая точки A и B на окружности.

Что нужно найти?

• Меньшую дугу АВ, то есть дугу между точками A и B, которая меньше 180°.

Шаг 2. Анализ геометрической ситуации

Поскольку АС — касательная в точке А, а АВ — хорда, соединяющая точки A и B, то:

• ∠ВАС — угол между касательной АС и хордой АВ.
• Угол ВАС равен 63°, и он находится внутри фигуры.

Важно!!
Угол между касательной и хордой, проведённой в точке касания, равен половине дуги, которая опирается на эту хордy.

Это классический факт из геометрии окружности:

Угол между касательной и хордой в точке касания равен половине дуги, которая не содержит точки касания и лежит в той же полуокружности, что и хордa.

Шаг 3. Используем свойства углов и дуг

Обозначим:

• Дуга, на которую опирается угол ВАС, — дуга АБ, которую нужно найти (меньшую дугу АВ).

Из свойства:
\[ \angle ВАС = \frac{1}{2} \text{Дуга, опирающаяся на эту сторону} \]

Но в нашем случае угол ВАС — это угол между касательной и хордой. Для такой ситуации:

• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которая не включает точку касания, то есть дуги с концами A и B.

Поскольку точка A — точка касания, дуга, на которую опирается угол ВАС, — это дуга, которая не содержит точки A, а содержит B.

То есть:
\[ \angle ВАС = \frac{1}{2} \text{дуги, содержащей B и не содержащей A} \]

Но в более традиционной формулировке:

• Угол, образованный касательной и хордой, равен половине дуги, которая не содержит точку касания.

Так как \( A \) — точка касания, то:
\[ \angle ВАС = \frac{1}{2} \text{дуги, не содержащей A} \] и эта дуга — это дуга \( \widehat{AB} \), которая опирается на угол.

Шаг 4. Найдём дугу АВ

Угол ВАС равен 63°, тогда:
\[ 63^\circ = \frac{1}{2} \text{дуги } \widehat{AB} \] \[ \text{Дуга } \widehat{AB} = 2 \times 63^\circ = 126^\circ \]

Это — меньшая дуга между точками A и B, поскольку.

• Общая окружность — 360°.
• Меньшая дуга АВ — это та, которая измеряется 126°.

Ответ:

Меньшая из дуг АВ равна 126 градусам.

Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!