Я подготовлю подробные решения по каждому из пунктов задания. Если необходимо более глубокое объяснение по какому-то отдельному пункту, скажи — я с удовольствием помогу! Начинаем.
Часть R — Теория вероятностей
1) Запишите свойства вероятности.
Ответ: Свойства вероятности:
- (0 \leq P(A) \leq 1) для любого события (A).
- (P(\Omega) = 1), где (\Omega) — пространство всех элементарных исходов.
- Если события (A_1, A_2, \dots, A_n) — несовместные (как.union), то:
[P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)].
2) Найдите вероятность того, что случайно выбранное мороженое будет шоколадным.
Дано:
- В морозильнике: ванильных — 20, шоколадных — 15, клубничных — 5.
Общее число: (20 + 15 + 5 = 40).
Вероятность:
[
P(\text{шоколадное}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0,375
]
3) Игральный кубик бросают два раза. Выпишите все элементарные события, которые благоприятствуют событию — «в сумме выпало 6 очков».
Множество элементарных исходов при двух бросках:
[
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \dots, (6,6)}
]
Требуемые исходы, где сумма равна 6:
[
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
]
Ответ:
[
\boxed{
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
}
]
4) В марафоне участвуют 500 бегунов, из них 265 — профессиональные. Найдите вероятность, что выбранный бегун не является членом профессиональной команды.
Общее число — 500, число профессиональных — 265, значит, не профессиональных:
[
500 - 265 = 235
]
Вероятность:
[
P(\text{не профессиональный}) = \frac{235}{500} = 0,47
]
Часть R: Теория графов и др.
1) Что называется простым циклом в графе?
Ответ: Простым циклом называют цикл, не содержащий повторяющихся вершин и рёбер, кроме начальной и конечной одной и той же вершины.
2) Выполните задания по рисунку:
Здесь нужен рисунок, но в общем:
- a) Пьё града:
— Находим вершину, у которой степень равна 1 или 2, и она соединена с другими вершинами; более конкретно без картинки затруднить.
- б) Цикл (не простой):
— Проход по вершинам, включая повторяющиеся вершины или рёбра, например, цикл внутри другого.
- в) Разность наибольшей и наименьшей степеней вершин:
— Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё.
— Находим максимум и минимум, делаем разность.
3) Существует ли дерево с 10 вершинами и 9 рёбрами?
Ответ: Да, существует. В дереве число рёбер равно числу вершин минус 1, то есть:
[
10 - 1 = 9 \quad \Rightarrow \text{да, такое дерево возможно}.
Масть 3 — Информация и вероятности
1) Формула для получения информации от двух заинтересованных лиц.
Ответ:
Если (p) — вероятность события, то информация (в битах):
[
I = -\log_2 p
]
Для двух лиц, вероятности могут быть независимыми или совместными; тогда, например, если события независимы и вероятности (p_1, p_2), общий уровень информации — сумма.
2) Запишите недостающие вероятности на рёбрах.
Дано:
- Связные вероятности по ребрам (0.2, 0.3, 0.2).
Требуется более конкретная задача, но, например: если сумма вероятностей на рёбрах должна быть 1, то недостающие — (1 - (0.2 + 0.3 + 0.2) = 0.3).
3) Вырванное решение: вероятность того, что оба шара в из двух урн — чёрные.
Дано:
- Первая урна: 4 чёрных, 6 белых.
- Вторая: 2 чёрных, 8 белых.
Вероятности:
[
P(\text{чёрный из 1-й}) = \frac{4}{10} = 0.4
]
[
P(\text{чёрный из 2-й}) = \frac{2}{10} = 0.2
]
Общая:
[
P(\text{оба чёрных}) = 0.4 \times 0.2 = 0.08
]
Мастер 4 — практические задачи, вероятности и другие
1) Сколько тарелок не имеют ни надписи, ни рисунка?
Дано:
- 20 тарелок всего:
- 12 с цветком,
- 7 с надписью,
- 4 и с надписью и с изображением,
- Остальные — без надписи и без рисунка.
Общее число:
[
20
]
Высчитаем:
Обозначим:
- (A) — с цветком, (\vert A \vert=12),
- (B) — с надписью, (\vert B \vert=7),
- (A \cap B) — и с цветком и с надписью: (\vert A \cap B \vert=4).
Тогда:
число с хотя бы одним из признаков:
[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 12 + 7 -4 = 15
]
Число без надписи и изображения:
[
20 - 15 = 5
]
2) Вероятность белой или оранжевой футболки:
Из 152:
- Красных — 32,
- Зелёных — 36,
- Оранжевых — 30,
- Остальные — белые и чёрные, поровну.
Общее без данных:
Сумма указанных:
[
32 + 36 + 30 = 98
]
Общее: 152, значит осталось:
[
152 - 98 = 54
]
Белаых и чёрных — поровну, значит белых:
[
\frac{54}{2} = 27
]
Вероятность:
[
P(\text{белая или оранжевая}) = \frac{27 + 30}{152} = \frac{57}{152} \approx 0.375
]
3) Вероятность, что лампочка произведена на втором заводе, если она бракованная.)
Дано:
- Во-первых, доля бракованных: 7% одновременно всех.
- Для завода 1: 3% бракованных, для второго — 8%.
Обозначим:
- (A_1) — лампочка с первого завода,
- (A_2) — с второго,
- (B) — брак (бракована).
Общая вероятность бракованной:
[
P(B) = P(B|A_1) P(A_1) + P(B|A_2) P(A_2)
]
Значения:
[
0.03 P(A_1) + 0.08 P(A_2) = 0.07
]
Вероятно, доля изделий с каждого завода равна. Тогда:
[
P(A_1) + P(A_2) = 1
]
Рассчитаем:
[
0.03 P(A_1) + 0.08 (1 - P(A_1)) = 0.07
]
[
0.03 P(A_1) + 0.08 - 0.08 P(A_1) = 0.07
]
[
(0.03 - 0.08) P(A_1) = 0.07 - 0.08
]
[
-0.05 P(A_1) = -0.01
]
[
P(A_1) = \frac{-0.01}{-0.05} = 0.2
]
Тогда:
[
P(A_2) = 1 - 0.2 = 0.8
]
Нам нужно найти:
[
P(A_2|B) = \frac{P(B|A_2) P(A_2)}{P(B)} = \frac{0.08 \times 0.8}{0.07} = \frac{0.064}{0.07} \approx 0.914
]
4) Минимальное число выстрелов, чтобы вероятность попадания была ≥ 0,999, при (p=0,8).
Используем формулу:
[
P(\text{по крайней мере один успех в } n \text{ бросках}) = 1 - (1 - p)^n \geq 0,999
]
Подставим:
[
1 - (0.2)^n \geq 0,999
]
[
(0.2)^n \leq 0.001
]
Берём логарифмы:
[
n \log_{10} 0.2 \leq \log_{10} 0.001 = -3
]
[
n \leq \frac{-3}{\log_{10} 0.2} \approx \frac{-3}{-0.69897} \approx 4.29
]
Значит,
[
n \geq 5
]
Минимальное — 5 выстрелов.
5) Цена случайного билета и ожидание.
Дано: 1000 билетов, цена — 50 рублей. Размер выигрыша и количество:
- 900 билетов — 10 рублей,
- 60 — 50,
- 30 — 100,
- 8 — 1000,
- 2 — 2000.
Общая сумма:
[
900 \times 10 + 60 \times 50 + 30 \times 100 + 8 \times 1000 + 2 \times 2000
]
Вычислим:
[
9000 + 3000 + 3000 + 8000 + 4000 = 18,000 \text{ рублей}
]
Общее количество билетов: 1000.
Ожидаемый выигрыш:
[
E = \frac{1}{1000} \times 18,000 = 18 \text{ рублей}
]
Желаемая цена билета выше ожидаемого выигрыша на:
[
50 - 18 = 32 \text{ рубля}
]
Если нужно — я могу подготовить ответы подробнее или для конкретных заданий, или помочь с еще чем-то!
